Момент инерции сечения
|
J |
xC |
= J (1) + J (2) = 84a4 + 52a4 =136a4 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
xC |
|
xC |
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаемся к условию прочности: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M max |
3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σmax р |
= |
x |
|
≤ [σ]р , |
|
|
||
|
|
|
|
|
136a |
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a]= 3 |
M xmax 3 |
= 3 |
136 |
20 кН м 3 |
|
|
= 3 4,41 10−6 |
= 1,64 10−2 |
м. |
||||
|
136 [σ] |
р |
|
|
100 103 кН/м2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
Изгиб называется поперечным, если кроме изгибающего момента в сечениях элемента конструкции возникает поперечная сила.
Если при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими, то при поперечном они искривляются, т.е. в данном случае гипотеза Бернулли не применима.
Рассмотрим консольную балку, нагруженную на свободном конце силой F.
Вырежем элементарный участок балки длиной dz. На торцевых площадках этого элемента действуют вызванные поперечными силами касательные напряжения. Примем закон распределения касательных напряжений по ширине сечения равномерным.
56
Плоскостью, параллельной нейтральному слою и отстоящей от него на расстояние y, отсечем часть рассматриваемого элемента с площадью торца A*. Докажем наличие на нижней грани отсеченной части касательных напряжений.
Рассмотрим элемент отсеченной части высотой dy.
Из условий равновесия этого элемента можно заключить, что касательные напряжения действуют не только в поперечных, но и в продольных сечениях балки, параллельных нейтральному слою.
Запишем сумму моментов, вызванных действием касательных напряжений, относительно оси x:
τzy b* dy dz = τyz b* dz dy ,
Откуда
τxy=τyz.
Это так называемый закон парности касательных напряжений: на взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и противоположные по направлению касательные напряжения.
Обозначим N* равнодействующую нормальных напряжений, действующих на одном из торцов отсеченного участка A*. Равнодействующая нормальных напряжений, действующих на противоположном торце, равна N*+dN*.
57
Воспользуемся интегральным уравнением равновесия
N* = ∫σdA*,
A*
и формулой для нормального напряжения
σ = M x y1 , Jx
где y1 – расстояние от нейтрального слоя до элементарной площадки dA* отсеченной части. Получим
N* = ∫ |
M x y1 |
dA* = |
M x |
∫ y1dA* = |
M x |
Sx* , |
|||
|
|
|
|||||||
A* |
J |
x |
|
J |
x |
A* |
J |
x |
|
|
|
|
|
||||||
где Sx* – статический момент отсеченной части.
Приращение равнодействующей dN* пропорционально приращению изгибающего момента dMx на участке dz:
|
|
|
|
|
dN* = |
dM x |
|
S* |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jx |
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сумма проекций всех сил, действующих на отсеченной части, на ось z ∑ Fi |
* = 0 : |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N * +τyz dz b* = N * +dN * , |
|
||||||||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
= |
|
|
dN * |
= |
|
dM x Sx* |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dz b * |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
yz |
|
|
|
|
dz b* J |
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что |
dM x |
= Q |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= τ |
|
|
= |
Q |
S* |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
y |
|
x |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
yz |
zy |
b* J |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полученное выражение называется формулой Журавского. В этой формуле:
Sx* - статический момент части площади поперечного сечения, отсекаемый на том уровне относительно оси изгиба, где определяется величина τ;
Jx - момент инерции всего сечения относительно оси изгиба;
b* - ширина поперечного сечения на том уровне относительно оси изгиба, где определяется величина τ.
Формула Журавского справедлива для сечений с отношением высоты к ширине h/b>2.
Искривление поперечных сечений от действия Qy незначительно влияет на закон нормальных напряжений, поэтому им в инженерных расчетах пренебрегают.
Определим закон изменения τ по высоте сечения для прямоугольного профиля.
58
Статический момент части сечения, отсекаемой на уровне y от нейтральной линии
|
* |
h |
|
h |
|
y |
h2 |
|
hy |
|
hy |
|
y2 |
|
h2 |
|
4y |
2 |
||||
S |
x |
= |
− y b |
+ |
|
|
= |
|
+ |
|
− |
|
− |
|
b = |
|
1 |
− |
|
2 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
4 |
2 |
|
8 |
|
4 4 |
|
2 |
|
8 |
|
|
h |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Учитывая, что момент инерции для прямоугольника J |
|
|
= |
bh3 |
, получим зависимость |
|||||||||||||||||||||
x |
12 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
bh |
2 |
|
|
|
4y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4y |
2 |
|
|
||||
|
Q |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
Q |
|
3 1− |
|
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
|
|
2 |
|
y |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|||||||
τ( y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
bh3 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
hb |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим значения касательных напряжений в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии:
τy = ± h = 02
ив точках, лежащих на нейтральной линии:
τ( y = 0) = 3 Qy . 2 A
Таким образом, касательные напряжения меняются по высоте сечения по квадратичной зависимости, достигая максимума на нейтральной оси.
Задача. Определить касательные напряжения при поперечном изгибе балки двутаврового сечения.
59
Момент инерции сечения относительно главной центральной оси
|
|
|
8a a3 |
|
|
|
a (8a)3 |
|
J |
x |
= 2 |
|
+ (4,5a)2 |
8a2 |
+ |
|
= 79,37a4 . |
|
|
|||||||
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На уровне 0-0:
статический момент отсеченной части Sx* = 0 , следовательно касательные напряжения:
τ0-0=0.
На уровне 1-1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
статический момент отсеченной части S* |
|
|
= 8a2 4,5a = |
||||||
|
|
|
|
x(1−1) |
|
|
|||
ширина сечения b* |
= 8a , касательные напряжения: |
||||||||
(1−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
= |
Qy Sx*(1−1) |
|
= |
F 36a3 |
||
|
1−1 |
b* |
J |
x |
8a 79,37a4 |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(1−1) |
|
|
|
||
На уровне 2-2:
36a3 ,
= 0,1 aql2 .
так как b* |
= 1 b* |
, касательные напряжения: |
|
|
||||
(2−2) |
8 (1−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
= 8τ |
|
= 0,91 ql . |
||
|
|
|
2−2 |
|
|
1−1 |
|
a2 |
На уровне 3-3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
статический момент отсеченной части S* |
|
= 36a3 |
+ 4a2 2a = 44a3 , |
|||||
|
|
|
x(3−3) |
|
|
|
|
|
ширина сечения b* |
= a , касательные напряжения: |
|
||||||
|
(3−3) |
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
= |
Qy Sx*(3−3) |
= |
2ql 44a3 |
= 1,11 |
ql |
. |
|||
3−3 |
b* |
J |
x |
a 79,37a4 |
a2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(3−3) |
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, касательные напряжения максимальны на нейтральной линии, т.е. там, где нормальные напряжения равны нулю. Вместе с тем, для тонкостенных сечений следует обращать внимание на места перехода от стенок к полкам, где одновременно действуют большие по величине нормальные и касательные напряжения.
60