Элементарные изгибающие моменты могут быть записаны: dМy = dN x ,
dМx = dN y ,
dМz = dQy x + dQx y .
Следовательно:
M y |
= ∫σ x dA |
|
|
A |
|
M x |
= ∫σ y dA |
(1.7) |
|
A |
|
M z = ∫(τ zy x −τ zx y)dA
A
Выражения (1.6) и (1.7) называются интегральными уравнениями равновесия.
1.9. Понятие о перемещении и деформации
Рассмотрим физический объект произвольной формы в декартовой системе координат. Зафиксируем внутри тела точку В до приложения внешних сил. Предположим, что В1 – положение точки В после приложения внешних сил.
Тогда вектор ВВ1 можно считать вектором полного перемещения точки В. u, v, w – проекции вектора полного перемещения на оси x, y, z соответственно.
Зафиксируем до приложения сил точки В и С, расстояние между которыми равно s. Пусть точки В1 и С1 - новые положения точек В и С после приложения системы внешних сил. Предположим, что расстояние между ними равно s+ s.
17
s – абсолютное изменение длины отрезка ВС - называется абсолютная линейной деформацией.
Величина ε = lim |
s |
- это относительная линейная деформация. |
s→0 |
s |
|
Кроме линейных деформаций существуют также угловые деформации. Проиллюстрируем их. Выделим точки О, В, С до приложения к объекту внешних сил. Пусть О1, В1, С1 – положения выбранных точек после нагружения объекта.
Тогда, γ = lim |
(В Оˆ С − В1Оˆ |
1С1 ) - угловая деформация. |
О → |
В |
|
О → |
С |
|
1.10. Теорема Кастилиано
Теорема Кастилиано предназначена для определения перемещений точек упругой системы.
Частная производная от потенциальной энергии деформации системы по силе равняется перемещению точки приложения данной силы по ее направлению.
Если u – потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела под действием системы внешних сил {Fn}, то
∂u = δ ,
∂Fn n
где δn – перемещение n-й точки.
Доказательство проведем, рассмотрев два порядка приложения внешних сил.
1порядок
1.Нагрузим тело системой сил {Fn}. При этом тело приобретает потенциальную энергию деформации u.
2.Увеличим силу Fn на бесконечно малую величину dFn. Потенциальная энергия получит
∂u
приращение ∂Fn dFn .
Таким образом, суммарная потенциальная энергия будет равна u + ∂u dFn
∂Fn
18
2 порядок
1. Нагрузим тело в точке n бесконечно малой силой dFn, при этом точка n получит перемещение dσn. Потенциальную энергию деформации определим как работу этой силы по теореме Клапейрона:
I= 12 dFn dδ n .
2.Приложим к телу систему внешних сил {Fn}, в результате точка n получит дополнительное перемещение σn. Потенциальная энергия деформации тела увеличится на величину u, и, кроме того, сила dFn совершит дополнительную работу на перемещении σn:
I= dFn δ n .
Врезультате при втором порядке приложения внешних сил потенциальная энергия
деформации определяется как 12 dFn dδ n + u + dFn σ n .
Предполагая, что величина потенциальной энергии деформации тела не зависит от порядка приложения сил, получим
u + |
∂u |
dF = |
1 dF dδ |
|
+ u + dF δ |
|
. |
|
|
n |
n |
||||||
|
|
n |
2 |
n |
n |
|
||
|
∂Fn |
|
|
|
|
|
||
Слагаемым 12 dFn dδ n можно пренебречь в силу того, что это величина второго порядка
малости. Тогда |
∂u |
dF = dF δ |
|
, откуда: |
|
|
|
||||
|
∂Fn |
n |
n |
|
|
|
|
n |
|
||
∂u = δ , что и требовалось доказать.
∂Fn n
Недостатком теоремы Кастилиано является то, что с ее помощью можно определять перемещения только тех точек упругой системы, к которым приложены внешние силы.
1.11. Теорема Бетти-Максвелла
Теорема Бетти (теорема о взаимности работ)
Работа силы первого состояния на перемещении, вызванном силой второго состояния, равняется работе силы второго состояния на перемещении, вызванном силой первого состояния:
19
F1δ12 = F2δ 21
Первый индекс в обозначении перемещений показывает точку и направление перемещения, второй – причину перемещения.
Докажем теорему, рассмотрев два порядка приложения сил.
1 порядок
1. Нагрузим балку силой F1.
Потенциальную энергию деформации определим как работу силы F1 на перемещении σ11:
u1 = 12 F1 δ11 .
2. Добавим силу F2.
Приращение потенциальной энергии деформации определим как сумму работ силы F2 на перемещении σ22 и силы F1 на перемещении σ12:
u1 = 12 F2 δ 22 + F1 δ12 .
2 порядок
1. Нагрузим балку силой F2.
Потенциальную энергию деформации определим как работу силы F2 на перемещении σ22:
u2 = 12 F2 δ 22 .
2. Добавим силу F1.
Приращение потенциальной энергии деформации определим как сумму работ силы F1 на перемещении σ11 и силы F2 на перемещении σ21:
u2 = 12 F1 δ11 + F2 δ 21.
20