l |
M x |
(F)M1 |
l |
F cosα z z |
|
F cosα l3 |
δ y = ∫ |
|
x |
dz = ∫ |
|
dz = |
. |
|
EJx |
EJx |
||||
0 |
|
0 |
|
EJx |
||
C |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, перемещение по направлению оси y:
|
δ x |
= |
F sin α l3 . |
|
|
|
|||
|
C |
|
|
EJ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полное перемещение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fl |
3 |
2 |
α |
+ sin |
2 |
α . |
δ = δ x2 |
+ δ y2 |
= |
|
cos2 |
2 |
||||
С |
С |
|
3E |
Jx |
|
J y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
Рассмотрим стержень, нагруженный в точке сечения с координатами xF, yF силой F, параллельной продольной оси z.
Это случай внецентренного сжатия.
В сечениях стержня возникают следующие внутренние силовые факторы:
N = F ; M y = FxF ; M x = FyF .
Суммарное нормальное напряжение от действия этих факторов возникает в точке сечения с координатами x, y:
σ |
Σ |
= F |
+ |
M y |
x + |
M x |
y = F |
+ |
FxF x |
+ |
FyF y |
|
|
|
|
||||||||
|
A |
|
J y |
|
J x |
A |
|
J y |
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
С целью нахождения опасных точек сечения определим положение нейтральной линии, для этого приравняем напряжение, возникающее в точках нейтральной линии, к нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xF xн.л. |
|
yF yн.л. |
|
|
||||
σ |
|
= |
F 1 |
+ |
+ |
|
= 0 , |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
н.л. |
|
A |
|
|
J y |
|
|
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда уравнение нейтральной линии имеет следующий вид:
73
|
|
|
|
|
|
1+ |
xF xн.л. |
+ |
yF yн.л. |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
где i |
x |
= |
J x , i |
y |
= J y |
- радиусы инерции сечения. |
||||
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
x |
|
= 0 y |
|
= |
i2 |
||
|
н.л. |
x |
, |
||||
|
|
|
|||||
н.л. |
|
|
yF |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 0 x |
|
= |
i2 |
||
y |
|
|
y |
. |
|||
н.л. |
н.л. |
|
|||||
|
|
|
xF |
||||
|
|
|
|
|
|||
Условия прочности при внецентренном растяжении-сжатии:
σΣ max р ≤ [σ ]р , σΣ maxс ≤ [σ ]с .
Аналогично данному виду деформации ведется расчет на прочность элементов конструкции, работающих при совместном действии изгиба и растяжения-сжатия.
Пример.
Рассмотрим консольную балку, испытывающую прямой изгиб и растяжение.
Под действием дополнительного напряжения от продольной силы нейтральная линия смещается от главной центральной оси поперечного сечения:
Если σ(N) = NA ≤ 5%[σmax (M z )], учитывать влияние N необязательно.
Ядро сечения
Ядром сечения называется область в окрестности точки центра тяжести, при приложении в которую внешней продольной силы, в сечении будут возникать нормальные напряжения одного знака. Это особенно важно для конструкций, изготовленных из хрупких материалов, которые сжатию сопротивляются лучше, чем растяжению.
74
Пример.
Построим ядро прямоугольного сечения при внецентренном растяжении-сжатии.
Определим такую точку приложения силы, чтобы нейтральная линия совпадала с линией 1-
1.
Длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
yн.л. = h2 , xн.л. = ∞ .
Координаты точки приложения силы:
|
|
|
|
|
i2 |
, x |
|
|
iy2 |
|
|
y |
F |
= − |
x |
F |
= − |
|
= 0. |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
yн.л. |
|
|
xн.л. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как радиус инерции i2 |
= h2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = − h2 2 = − h .
F 12 h 6
Рассуждая аналогичным образом, можно получить, что для совмещения нейтральной линии с линией 2-2, силу необходимо приложить в точку с координатами
|
|
|
|
x |
F |
= 0 , |
y |
F |
= h . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для линии 3-3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
н.л. |
= − b |
, |
y |
н. |
л. |
= ∞ . |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что i2 |
= b2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
F |
= 0 |
, x |
F |
= b2 2 = b . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
b 6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично для линии 4-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
F |
= 0, |
x |
F |
|
= − b . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соединяя найденные точки, получим ядро сечения.
75