ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Материаловедение и механика материалов»
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Сопротивление материалов»
Часть I
Методическое пособие для студентов в рамках технологии 30/70 для строительных специальностей
Содержание |
|
1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. |
|
Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр............................................................................................ |
4 |
1.1. Краткая историческая справка............................................................................................................................ |
4 |
1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов........................................................................ |
4 |
1.3. Метод сечений...................................................................................................................................................... |
6 |
1.4. Эпюры внутренних силовых факторов .............................................................................................................. |
8 |
1.5. Правило знаков ВСФ............................................................................................................................................ |
9 |
1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе...................................................................................................... |
12 |
1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе............................................................................. |
14 |
1.8. Понятие о напряжении. Интегральные уравнения равновесия...................................................................... |
15 |
1.9. Понятие о перемещении и деформации........................................................................................................... |
17 |
1.10. Теорема Кастилиано......................................................................................................................................... |
18 |
1.11. Теорема Бетти-Максвелла ............................................................................................................................... |
19 |
1.12. Основные принципы сопротивления материалов ......................................................................................... |
21 |
1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения............................................................. |
23 |
1.14. Основные виды расчетов................................................................................................................................. |
23 |
2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические |
|
характеристики материалов........................................................................................................................................... |
24 |
2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии...................................................................................... |
24 |
2.2. Испытания материалов на растяжение-сжатие................................................................................................ |
25 |
2.3. Допускаемые напряжения ................................................................................................................................. |
32 |
2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики...................... |
33 |
2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания ................................................................................... |
35 |
2.6. Предельное состояние конструкции................................................................................................................. |
36 |
3. Установочная лекция к модулю №3. Растяжение-сжатие: прочность жесткость, энергия, интеграл Мора....... |
37 |
3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии ................................................................ |
37 |
3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии..................................................................... |
38 |
3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия............................................................................................... |
39 |
3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении– |
|
сжатии......................................................................................................................................................................... |
40 |
4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений................................... |
42 |
4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений .................................................................... |
42 |
4.1.1. Площадь сечения ....................................................................................................................................... |
42 |
4.1.2. Статические моменты площади................................................................................................................ |
42 |
4.1.3. Моменты инерции...................................................................................................................................... |
43 |
4.1.4. Радиусы инерции....................................................................................................................................... |
44 |
4.2. Основные теоремы о моментах инерции.......................................................................................................... |
44 |
4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным................................. |
44 |
4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур............................................................................... |
45 |
4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат ................................................................ |
47 |
4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции..................................................................................... |
48 |
5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х |
|
прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием.......................................................................................................... |
50 |
5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе .................................................................................................. |
50 |
5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов....................................... |
52 |
5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба........................................... |
56 |
5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе............................................................................................ |
61 |
5.5. Интеграл Мора для случая изгиба .................................................................................................................... |
61 |
5.6. Численные методы решения интеграла Мора.................................................................................................. |
63 |
2
5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)............................................................................................................ |
63 |
5.6.2. Способ Верещагина................................................................................................................................... |
64 |
5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки..................................................................................... |
65 |
5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. |
|
Уравнение начальных параметров........................................................................................................................... |
66 |
5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе.................................................................. |
68 |
5.10. Косой изгиб....................................................................................................................................................... |
69 |
5.11. Внецентренное растяжение-сжатие................................................................................................................ |
73 |
6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора...................... |
76 |
6.1. Чистый сдвиг и его особенности....................................................................................................................... |
76 |
6.2. Кручение стержней круглого профиля............................................................................................................. |
77 |
6.3. Потенциальная энергия деформации кручения............................................................................................... |
79 |
6.4. Интеграл Мора для случая кручения................................................................................................................ |
80 |
6.5. Кручение стержней некруглого профиля......................................................................................................... |
82 |
6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом............................................................................................ |
84 |
6.7. Практические расчеты на срез и смятие........................................................................................................... |
86 |
6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений.......................................................................................... |
86 |
6.7.2. Сварные соединения.................................................................................................................................. |
87 |
3
1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
1.1. Краткая историческая справка
Создание прочных, надежных конструкций издавна интересует человечество. Используя метод проб и ошибок, а также, заимствуя некоторые решения у природы, были достигнуты значительные практические успехи. Вместе с тем, этот путь был отмечен техническими катастрофами и гибелью людей.
Историческим началом науки о прочности принято считать пятнадцатое столетие. Век Великих Географических открытий был ознаменован бурным развитием кораблестроения, военной техники и астрономии. Это, в свою очередь, вызвало необходимость решения многих задач прочности. Так, известно, что Леонардо да Винчи занимался испытанием канатов на прочность и пытался решить задачу о прочности двухопорных балок. Однако, поскольку Леонардо никогда не публиковал своих работ, основателем сопротивления материалов как науки считается Галилео Галилей, который занимался испытанием деревянных балок на изгиб и написал об этом книгу.
Большой вклад в развитие науки о прочности внесло открытие интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем.
В1676 году английский ученый Роберт Гук опубликовал закон деформирования упругих тел (каково удлинение, такова сила), являющийся основным законом сопротивления материалов.
В1809 году Томас Юнг ввел понятие модуля упругости, а в 1822 – Огюстен Луи Коши ввел понятие напряжения. Это дало возможность записать закон Гука в современном виде.
В1829 году французский инженер и ученый Анри Навье издал первое руководство по сопротивлению материалов. Дальнейшее развитие этой науки было вызвано бурным развитием промышленности и транспорта и связано с трудами таких ученых, как Эйлер, Кастилиано, Максвелл, Кулон, Мор, Журавский, Ясинский и др.
Первый учебник «Сопротивление материалов» был написан великим русским ученым С.П. Тимошенко.
1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций. Под прочностью понимается способность элемента конструкции выдерживать заданные нагрузки, не разрушаясь. Под жесткостью понимается способность выдерживать нагрузки при ограниченных деформациях. Под устойчивостью понимают способность элемента конструкции сохранять наперед заданную форму упругого равновесия.
Другими словами, задача сопротивления материалов – обеспечение прочностной надежности элементов конструкций.
Модель прочностной надежности любого элемента состоит из совокупности следующих моделей:
модель прочностной надежности
модель |
модель |
модель |
модель |
материала |
формы |
нагружения |
разрушения |
По уровню описания структурного состояния материала различают:
4
физические
модели инженерноматериалов физические
инженерные
Инженерная модель материала, принятая в сопротивлении материалов, наделена следующими свойствами (в некоторых источниках известными как гипотезы относительно свойств материала):
•сплошность (материал непрерывно заполняет весь объем элемента конструкции);
•однородность (свойства материала в каждой точке одинаковы);
•изотропность (свойства материала во всех направлениях одинаковы);
•идеальная упругость (для материала выполняется закон Гука).
По геометрическим признакам элементов конструкций различают:
|
стержни |
модели |
пластины и |
формы |
оболочки |
объемные
тела
Внешние силовые воздействия классифицируют в зависимости от их поведения во времени, а также по степени локализации:
сосредоточенные силы
стационарные
модели нагружения распределенные силы
нестационарные
объемные силы
Виды разрушения могут быть представлены следующими моделями разрушения:
статические
малоцикловые
модели
разрушения
усталостные
длительной прочности
Применение моделей прочностной надежности позволяет перейти от реального объекта к расчетной схеме, и этой задачей занимаются специальные дисциплины. Сопротивление
5
материалов занимается анализом расчетных схем, т.е. оценкой прочности, жесткости и устойчивости. Для решения этих задач необходимо знание внутренних силовых факторов, возникающих в материале конструкции в ответ на внешнее воздействие. Рассмотрим метод для их определения.
1.3. Метод сечений
Метод сечений служит для определения внутренних силовых факторов (ВСФ). Под ВСФ будем понимать те изменения сил взаимодействия между элементарными частицами вещества, которые происходят в ответ на внешние воздействия.
Рассмотрим физическое тело, нагруженное самоуравновешенной системой сил:
Произвольной плоскостью разделяем объект на две части (A и B):
В сечении каждой части возникают внутренние силы, заменяющие действие отсеченной части.
Внутренние силы в сечении части А, согласно 3-му закону Ньютона, равны по величине и противоположны по направлению внутренним силам в сечении части В. Следовательно, для определения внутренних сил достаточно рассмотреть одну из частей.
Оставим для рассмотрения часть А. Предварительно введем следующую систему координат: оси x и y лежат в плоскости сечения, ось z нормальна ему. Центр координат расположим в геометрическом центре сечения.
6
Заменим систему внутренних сил главным вектором сил R и главным моментом M .
Проекции R на координатные оси: Qx, Qy – поперечные силы;
N – продольная сила.
Главный момент разложим на три составляющие: Mx, My – изгибающие моменты;
Mz – крутящий момент.
Определяем ВСФ из уравнений статики.
Рассмотрим сумму проекций сил, действующих на оставленную часть, на ось z:
ост.ч. |
ост.ч. |
ост.ч. |
∑Fiz |
= 0 : N + ∑Fizвнеш. = 0, т.е. сила N должна быть равна по величине ∑Fizвнеш. |
|
i |
i |
i |
противоположно направлена. Это можно записать в виде:
ост.ч.
N = ∑Fizвнеш. . i
Рассуждая таким же образом, можно записать следующие соотношения:
ост.ч.
N = ∑Fizвнеш. i
ост.ч.
Qx = ∑Fixвнеш. i
ост.ч.
Qy = ∑Fiyвнеш. i
Рассмотрев сумму моментов относительно осей координат, получим:
и
(1.1)
|
ост.ч. |
|
M z |
= ∑M z (Fiвнеш.) |
|
|
i |
|
|
ост.ч. |
|
M x |
= ∑M x (Fiвнеш.) |
(1.2) |
|
i |
|
|
ост.ч. |
|
M y |
= ∑M y (Fiвнеш.) |
|
i
7