- •1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
- •1.1. Краткая историческая справка
- •1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
- •1.3. Метод сечений
- •1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
- •1.5. Правило знаков ВСФ
- •1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
- •1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
- •1.9. Понятие о перемещении и деформации
- •1.10. Теорема Кастилиано
- •1.11. Теорема Бетти-Максвелла
- •1.12. Основные принципы сопротивления материалов
- •1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
- •1.14. Основные виды расчетов
- •2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические характеристики материалов
- •2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
- •2.3. Допускаемые напряжения
- •2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики
- •2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
- •2.6. Предельное состояние конструкции
- •3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
- •3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
- •3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
- •3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
- •4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
- •4.1.1. Площадь сечения
- •4.1.2. Статические моменты площади
- •4.1.3. Моменты инерции
- •4.1.4. Радиусы инерции
- •4.2. Основные теоремы о моментах инерции
- •4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
- •4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
- •4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
- •4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
- •5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
- •5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
- •5.6. Численные методы решения интеграла Мора
- •5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5.6.2. Способ Верещагина
- •5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
- •5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
- •5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
- •5.10. Косой изгиб
- •5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
- •6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
- •6.1. Чистый сдвиг и его особенности
- •6.2. Кручение стержней круглого профиля
- •6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
- •6.4. Интеграл Мора для случая кручения
- •6.5. Кручение стержней некруглого профиля
- •6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
- •6.7. Практические расчеты на срез и смятие
- •6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •6.7.2. Сварные соединения
Закон нагружения стержня:
откуда работу внешнего момента можно определить по теореме Клапейрона как
I = 12 M zϕ ,
где ϕ - угол поворота сечения, в котором приложен момент Mz. При статическом нагружении уравнение энергетического баланса
I=U,
откуда, учитывая, что ϕ = ∫Θdz , а также формулу (6.5), найдем потенциальную энергию
l
деформации при кручении:
M 2dz U = ∫ z .
l 2GJ ρ
6.4. Интеграл Мора для случая кручения
Определим угол поворота произвольного сечения C консольного стержня, нагруженного в свободном сечении скручивающим моментом.
Пусть внутренний крутящий момент для этого случая равен Mz=Mz(F).
Для определения угла поворота можно использовать теорему Кастилиано, но она применима лишь для сечений, в которых приложены внешние нагрузки. Чтобы обойти это неудобство, приложим в сечении C фиктивный момент Φ:
Теперь внутренний крутящий момент будет равен M z = M z (F) + M1z Φ.
Для определения коэффициента пропорциональности M1z разгрузим стержень от внешней нагрузки, а фиктивный момент Φ приравняем к единице:
80
При этом внутренний крутящий момент M z = M z (0) + M1z 1 = M1z . Таким образом, M1z
– это внутренний момент, возникающий в сечениях элемента конструкции, если разгрузить его от внешних факторов, а к сечению, угол поворота которого определяется, приложить единичный безразмерный момент.
Потенциальная энергия деформации с учетом моментов Mz и Φ |
||||
U = ∫ |
(M z |
(F) + M1z |
Φ )2 dz |
|
|
|
|
. |
|
|
2GJρ |
|
||
l |
|
|
|
Применяя теорему Кастилиано и учитывая, что на самом деле Φ= 0 , находим искомый угол поворота:
ϕc |
= |
∂U |
|
|
= ∫ |
M z (F)M1zdz |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
∂Φ |
|
Φ=0 |
l |
GJρ |
|
|
|
|
Полученное выражение есть интеграл Мора при кручении. Для случая k рабочих участков:
k |
M zi (F)M1z |
i |
|
||
ϕ = ∑ ∫ |
|
|
|
dzi |
|
(GJ |
) |
i |
|
||
i=1 li |
|
ρ |
|
|
Задача 1.
Для стержня, жестко защемленного одним концом, подобрать диаметр поперечного сечения из условий прочности и жесткости, если допускаемое напряжение на сдвиг [τ]=100 МПа, модуль сдвига G=8*104 Мпа, допускаемый угол закручивания [Θ]= 1град/м.
Для определения положения опасного сечения построим эпюру внутреннего крутящего момента Мz от внешних нагрузок.
Условие прочности:
81
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ max = |
|
M max |
= |
16M max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
πd 3 ≤ [τ ], |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда необходимый диаметр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[d ]= 3 |
16M zmax |
|
|
|
|
|
16 50кН м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π [τ ] |
= 3 3,14 100 103 кН/м2 |
|
= 0,136м. |
||||||||||||||||||||||||
Построим эпюру абсолютных углов закручивания по характерным сечениям: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
(10 |
|
− 20z)dz = 10z − 10z2 |
|
0,5 |
|
|
2,5 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ (0,5м) = ∫ |
|
|
= |
|
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
GJρ |
|
|
|
|
|
|
|
GJρ |
|
|
|
0 |
|
|
GJρ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
= |
10z − 10z2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GJρ |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
= ϕ |
|
+ ϕ |
|
|
= 0 + 30 1 = |
30 |
, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2− 0 |
|
0 |
2−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
GJρ |
|
GJρ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
= ϕ |
|
+ ϕ |
|
= |
30 |
+ 50 1 |
= |
80 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3− 0 |
2− 0 |
3− |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GJρ |
|
|
GJρ |
|
|
|
|
GJρ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Максимальный относительный угол закручивания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Θ |
|
= |
ϕ |
max |
= |
|
|
|
|
80кН м м 32 |
|
|
|
|
|
= 0,01рад/м = 0,57град/м |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3м 8 107 кН/м2 |
3,14 13,64 10−8 м4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
max |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это меньше, чем [Θ]= 1град/м, т.е. условие жесткости выполняется.
6.5. Кручение стержней некруглого профиля
Рассмотрим стержень прямоугольного сечения, работающий на кручение.
Определение напряжений и перемещений такого стержня является сложной задачей, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Связано это с тем, что при кручении стержней некруглого профиля гипотеза Бернулли неприменима. Поперечные сечения депланируют (искривляются):
Кручение называется свободным, если депланация сечений одинакова по всей длине стержня, и стесненным, если депланация разных сечений различна. Стесненное кручение можно создать, если жестко защемить один из торцов стержня, а к свободному – приложить крутящий момент.
Докажем, что при кручении в угловых точках прямоугольного сечения касательное напряжение отсутствует. Доказательство проведем от обратного.
82
Предположим, что в ближайшей к нам угловой точке возникает вектор касательного напряжения τ. Разложим этот вектор на две составляющие τzx и τzy. Так как боковые стороны стержня свободны от силового воздействия, то касательные напряжения на площадках, смежных с рассматриваемой, τxz=τyz=0. Это означает, что, согласно закону парности касательных напряжений, τzy=τzx=0 и, следовательно, τ=0. Таким образом, при кручении в угловых точках прямоугольного сечения касательных напряжений нет.
Закон распределения касательных напряжений для прямоугольного сечения получен методами математической теории упругости и имеет следующий вид:
Максимальное касательное напряжение возникает посередине длинной стороны сечения и определяется по формуле:
τ max = M z ,
Wкр
причем момент сопротивления при кручении равен
Wкр = αb3 ,
где b – короткая сторона сечения,
α - табличный коэффициент, зависящий от отношения h/b.
Касательное напряжение, действующее посередине короткой стороны, может быть найдено по формуле
τ * = γτ max ,
где γ - табличный коэффициент, зависящий от отношения h/b.
Относительный угол закручивания определяется по формуле, аналогичной (6.5):
Θ = M z ,
GJкр
83