5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
Определим потенциальную энергию деформации консольной балки, нагруженной в свободном сечении сосредоточенной парой сил с моментом M. Под действием этой пары сил
нейтральная линия балки примет радиус кривизны ρ, а свободное сечение повернется на угол
Θ .
Составим уравнение энергетического баланса:
I=U+K,
где I – работа внешних сил, приложенных к стержню, U – потенциальная энергия деформации,
K – кинетическая энергия.
Для случай статического нагружения имеем: I=U.
Работу внешних сил определим по теореме Клапейрона: I =
Выразив угол Θ через радиус кривизны нейтральной линии:
|
1 |
= |
M |
x |
, получим: I = |
1 |
M 2l |
|
|
|
||
(5.5): |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
ρ |
EJ |
x |
2 EJ |
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда потенциальная энергия деформации для случая M x = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = I = ∫ |
M x2 (z)dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2EJ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12 M xΘ
Θ = ρl , и используя формулу
f (z):
5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
Определим перемещение произвольного сечения C консольной балки, нагруженной в свободном сечении сосредоточенной силой F. Обозначим функцию внутреннего изгибающего момента, возникающего в сечениях балки, Mx(F).
Приложим в точке С фиктивную силу Ф – это даст возможность использовать для определения искомого перемещения теорему Кастилиано.
61
Функция внутреннего изгибающего момента с учетом сил F и Ф: Mx=Mx(F)+M1Ф,
где M1 – коэффициент пропорциональности.
Для определения физического смысла коэффициента M1 разгрузим балку от силы F, силу Ф приравняем к единице
тогда
Mx=Mx(0)+M1*1=M1.
Таким образом, M1 – это внутренний изгибающий момент, возникающий при разгрузке балки от внешних сил и нагружении ее единичной безразмерной силой, приложенной в направлении искомого перемещения.
Потенциальная энергия деформации с учетом сил F и Ф: |
||
U = ∫ |
[M x (F) + M1Φ]2 dz |
. |
|
||
l |
2EJx |
|
Искомое перемещение определяем, применяя теорему Кастилиано:
δC = |
∂U |
= ∫ |
2[M x |
(F) + M1Φ]M1dz |
. |
|
∂Φ |
|
2EJ |
|
|||
|
l |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
||
Так как в исходной системе Ф=0, окончательно получим
δC = ∫ |
M x (F)M1dz |
. |
|
||
l |
EJx |
|
Полученное выражение называется интегралом Мора при изгибе. Обобщая на случай k рабочих участков, имеем
|
k |
|
(5.8) |
|
|
δ = ∑ ∫ |
M xi (F)M1i |
dzi |
|
|
||||
|
i =1 li |
(EJ x )i |
|
|
В случае, когда необходимо определить не линейное перемещение, а угол поворота сечения, для получения функции M1 к интересующему нас сечению разгруженной от внешних нагрузок балки прикладывается единичный безразмерный момент.
Пример.
62