12.2.3 Интервальные оценки показателей надёжности.

В предыдущем параграфе были точечные оценки неизвестных параметров. Эти оценки являются случайными величинами. Какими бы хорошими свойствами эти оценки не обладали, например несмещённостью и эффективностью, все же в ряде случаев, представляющих большой практический интерес, оказывается недостаточным характеризовать качество и надёжность изделий только с помощью точечных оценок. Может оказаться, что при проведении испытаний отказы вообще не наблюдаются, а если и появляются, то в небольшом количестве. В результате величина оценок резко меняется от испытания к испытанию и не может служить устойчивой характеристикой надёжности изделий. Это приводит к выводу о целесообразности использования метода доверительных интервалов [2,18].

Р.Фишер в место функции θ(t₁…t_N)от результатов испытанийt₁…t_N, которая принимается за приближённое значение неизвестного параметра ищут две функцииθ_н(t₁…t_N) иθ_в(t₁…t_N) от результатов испытаний, но не от самого параметра, для которых вероятность покрытия неизвестного параметраθотрезком[θ_н, θ_в]равна заданной величине α:

, (12.15)

где α- двусторонняя доверительная вероятность,

θ_н, θ_в– доверительные границы,

[θ_н, θ_в]– доверительный интервал.

Часто возникает необходимость установить одну из границ интервала [θ_н, θ_в]:нижнююθ_нили верхнююθ_в, отвечающих доверительным вероятностям α₁и α₂– соответственно нижней и верхней доверительной вероятности.

. (12.16)

Величина β=1-α– вероятность того, что значение параметраθвыйдет из интервала[θ_н, θ_в]называется уровнем значимости.

Значение α обычно задаётся: α=0,90; α=0,95; α=0,99; Значение доверительного интервала[θ_н, θ_в]получают на основании информации о законе распределения времени до появления отказа. В самом общем случае определение доверительного интервала можно представить следующим образом. На рис. 12.2. показан произвольный закон распределения.[Т_н, Т_в]– доверительный интервал

Рис. 12.8. Графическое представление доверительного интервала.

Из рисунка 12.6. а) видно, что α₁+ α₂– γ = 1. Положение точкиТ_нна осиtопределятся α₁:. Положение Т_в– вероятностью α₂:

(12.17)

Значения этих вероятностей следующим образом связаны с доверительной вероятностью α при условии, что доверительный интервал вписывается в середину площади, ограниченной кривой распределения:

(12.18)

Из рис. 12.6 также очевидно, что числовые значения границ доверительного интервала зависят не только от заданной доверительной вероятности, но и от закона распределения случайной величины (в данном случае величины τ– времени до появления отказа). В источниках [2,5,22] имеются таблицы, позволяющие на основании формул (12.17) определять доверительные интервалы для: 1) средней наработки на отказTпо зафиксированным временам возникновения отказов; 2) вероятности отказа в одном испытании по числу отказавших изделий. Рассмотрим эти задачи.

Определение доверительного интервала для средней наработки на отказ

Используется то обстоятельство, что отношение удвоенного значения суммарной наработки на отказ к среднему времени безотказной работы имеет распределение χ² , причём время отказа подчиняется экспоненциальному закону. Отсюда возникает возможность определять нижнее и верхнее значения Т, если задана доверительная вероятностьα. Т.о.Из рис. 12.7 видно, что доверительная вероятность γ≡α, соответствующая заштрихованной площади, ограничена двумя значениями χ²: нижним значением, равными верхним.

Рис.12.9.

Поэтому нижнее значение Т при известных величинах – суммарной наработке t_pи доверительной вероятности γ≡α будет равно:

, где=2n+2– число степеней χ²- распределения при определенииТ_H; - значение вероятности того, что χ² больше . Для определенияиспользуется таблица квантилей распределения χ²[Л..] Имеем: - квантиль уровня “P” распределения χ².

Верхнее значение Т при тех же параметрах равно , где=2n– число степеней свободы χ²- распределения при определении Т_в.

.

Таким образом, границы доверительного интервала для Т определяются выражением:

(12.19)

;;;

Среднее значение средней наработки на отказ равно

Рассмотрим пример:

Получены следующие результаты по плану [N,U,N]; n₁,n₂– соответственно числа отказов, полученные при первом (N₁=21) и втором (N₂=10) испытаниях:

tчас	100	200	300	400	500	600	700	800
n1	6	5	3	3	1	1	1	1
n2	1	2	4	2	1	-	-	-

Определить доверительный интервал для Тс доверительной вероятностиα=0.8, а такжеТ_ср.

Решение.

Для первого испытания: t_p=6*100+5*200+3*300+500+600+700+800+800=6300ч. ;K_н=2n+2=2*21+2=44; K_B=2n=42; ;;.

Для второго испытания: t_p=100+2*200+4*300+2*400+500=3000ч.; K_н=2n+2=2*10+2=22; K_B=2n=20; ;;;.

Для значений была использована таблица, построенная на основе квантилей- распределения. В этой таблицеK- число степеней свободы,γ- вероятность того, чтопринимает значение, большее указанного в таблице. Приведём форму этой таблицы: Значенияв зависимости отKи γ:

Таблица 12.1. Таблица - рспределения

K	γ
	0,99 … … … … … … … … … … … … … … 0,05
1 . . 50	,

Определение доверительного интервала для вероятности отсутствия отказа в одном испытании по числу обнаруженных отказов.

Этот случай возникает при решении следующих типовых задач. По линии связи передается Nкоманд; “n” команд не доходят до исполнителя за данное время. Требуется определить доверительный интервал для вероятности прохождения команд за данное время. Аналогичная задача возникает при испытанииNизделий с целью определения вероятности отсутствия отказов за данное время.

Доверительный интервал определяется из следующих уравнений для вероятности того, что число отказов будет не меньше “n”. Эти уравнения записываются с использованием биноминального закона распределения, определяющего вероятность появления числа “n” события “A” вNнезависимых испытаниях (см. 12.2).

;

(12.20)

где- число сочетаний изNпоi, P_B иP_H– верхнее и нижнее значение вероятности отсутствия отказов в одном испытании.

По уравнения (12.20) составлены таблицы [2,3,4,8,15,20], позволяющие определить нижнее и верхнее значения доверительного интервала для вероятности отсутствия отказа по заданным значениям Nиn. Например, решается задача:

Определить доверительный интервал с вероятностью α=0,9 для вероятности отсутствия отказа изделия в одном испытании, если при испытанияхN=40 изделий отказало 12.

По таблице [Л прил.8] находим P_H=0,6412;P_B=0,8382.