11.2. Определение гарантированного числа запасных элементов

В качестве одного из возможных примеров практического использования найденной вероятности , выражаемой формулой (11.20), рассмотрим решение задачи определения гарантированного числа запасных элементовдля системы.

Среднее число расходуемых запасных элементов за время эксплуатации t с учетом формулы (11.16) определится как:

(11.13)

Где .

В силу случайности возникающих в аппаратуре отказов система может потребовать либо большее, либо меньшее число запасных элементов чем . Поэтому гарантийная вероятностьp того, что за время t будет израсходовано не больше чем запасных элементов, равна всего лишь 50%.

На практике при эксплуатации аппаратуры, особенно в условиях, затрудняющих доставку запасных элементов, гарантийная вероятность того, что не потребуется больше чем запасных элементов (т.е. вероятность того, что система не будет простаивать из-за отсутствия запасных элементов), равная 50%, является явно недостаточной.

Как же определить число запасных элементов , если требуется заданная гарантийная вероятность в работоспособности аппаратурыp?

Основой для расчета является полученное ранее выражение (11.20), дающее однозначную зависимость междуp и :

(11.24)

На рис. 11.3 изображен график зависимости гарантийной вероятности p от параметра при некоторых значениях числа.

Пользуясь этим графиком, легко найти

Пример 11.2. Аппаратура, содержащая N=1000 однотипных элементов, имеющих интенсивность отказав , должна эксплуатироваться в течениеt=1200 час. Требуется определить необходимое число запасных элементов , если требуемая гарантийная вероятность равнаp=0,98.

Решение. Определив элементов, на графике рис. 11.3 проводим вертикальную линию до пересечения с горизонтальной линией с заданным значениемp=0,98. Точка пересечения дает кривую, соответствующую значению элементов.

Таким образом, если в запасе будет не , азапасных элементов, то с гарантийной вероятностьюp=98% система не будет простаивать из-за отсутствия данных элементов. Если же в запасе имеется только , то вероятность (см. рис. 11.3).

В том случае, когда система состоит из 𝑚 групп элементов различного типа, то вероятность работоспособности системы определится по формуле умножения вероятностей

(11.15)

где – вероятность работоспособности системы за счет элементовi-го типа.

Рис. 11.3. График зависимости вероятности от.

11.3. Оптимальное резервирование

Задача оптимального резервирования заключается в выборе числа и распределения резервных элементов, обеспечивающих в определённом смысле оптимальность всего резервного соединения. Задача на оптимальное резервирование возникает тогда, когда существует определённое ограничение на затрачиваемые для повышения надёжности средства [20,21].

Постановка задачи:

Пусть имеется некоторая реальная система, состоящая из неопределённого числа различных элементов, составленных на логической схеме последовательное соединение (рис 11.4-а):

Рис. 11.4

Перестраиваем эту систему, объединяя однотипные элементы в условные подсистемы (рис. 11.4 -б). Обозначим: x_i (i=1..n)– количество резервных элементов;

X(x₁, x₂..x_n)– вектор состава резервных элементов;

P_i(x_i)– функция надёжности дляi-ой подсистемы, содержащейx_iрезервных элементов.

P(X)– функция надёжности системы с векторомXсостава резервных элементов.

С(X)– затраты на резервирование системы при одном лимитирующем факторе.

C^j(X) (j=1..m)– затраты на резервирование при наличиеjлимитирующих факторов.

Можно записать: , причём может быть определена для каждого конкретного способа резервирования.

, гдеc_i- “стоимость” одного элементаi-го типа.

Возможна постановка следующих двух задач оптимального резервирования:

1. Прямая задача:

Найти число резервных элементов x_i(i=1..n)для каждойi-ойподсистемы, обеспечивающих заданное значение показателя надёжности системы при минимальных затратах, т.е.

при (11.16)

где P₀– заданное значение функции надёжности системы;

X₀– вектор состава резервных элементов оптимальной системы.

2. Обратная задача.

Найти число резервных элементов x_i(i=1..n)подсистемы, обеспечивающих максимальный показатель надёжностиР(Х) при величине затрат не превышающих заданную, т.е.

при (11.17)

где С₀– заданная “стоимость” системы. Для нескольких ограничивающих факторов - при