12.2.2.Общие методы оценки показателей надёжности по результатам испытаний

В настоящем параграфе рассматриваются общие методы получения оценок параметров, определяющих надёжность изделий. Эти методы могут быть использованы при обработке результатов наблюдений над изделиями, срок безотказной работы которых подчинён тому или иному закону распределения.

Эмпирическая функция распределения и гистограмма результатов испытаний

Чисто технические трудности заставляют нас ограничиться планами [N, U, r]и[N, U, T]. Напомним, что план[N, U, N] означает испытаниеNизделий до отказа последнего из них; отказавшие изделия не заменяются новыми. План [N,U,N] можно использовать в случае, когда изделия сравнительно ненадёжны, или же при проведении ускоренных испытаний.

Предположим, что испытываемые изделия занумерованы числами 1..Nиi-ое изделие отказывает в случайный момент τ_i. Первый отказ наступает в моментt₁=min(τ₁ ,.., τ_N); , гдеi₁- номер изделия отказавшего первым;i₁- случайное число. Второй отказ наступает в момент, ,i₂ – номер изделия отказавшего вторым и т.д. Наконец, в моментотказывает последнее изделие.

В статистике так упорядоченную последовательность чисел t₁ ≤ t₂ ≤ …≤ t_Nназывают вариационным рядом для результатов наблюдений .

При использовании плана [N, U, T]наблюдаются только те отказы, которые происходят до момента времениT. Еслиt₁ ≤ t₂ ≤ …≤ t_n(T) ≤ T(отказ с номеромn(T)+1, если он возможен, наступает после моментаT). Таким образом,n(T)означает номер последнего отказа, который происходит до моментаTокончания испытаний. Если изделия достаточно надёжно работают в интервале времени(0, T), то нередко случается, что отказы не наблюдаются иn(T)=0, что, однако не даёт нам права заключать, что надёжность изделий равна единице. Впоследствии мы укажем правило оценки надёжности в подобных случаях, основанное на понятии доверительного интервала. Наиболее полной характеристической надёжности изделий является функция распределенияF(t)≡Q(t)для времени безотказной работы. О виде функцииF(t)можно судить по так называемой эмпирической функции распределенияF_N(t), определяемой равенством:

(12.1)

Таким образом, эмпирическая функция распределения при каждом значении tслучайной величиныτравна числу значений случайной величины, меньшихt(числу изделий отказавших до моментаt) делённому на общее число испытаний (общем партииN). График функцииF_N(t)показан на рис. (12.2.). Если используется план[N, U, T], то значенияF_N(t)могут быть определены только дляt≤T, т.е. до уровня. При использовании плана[N, U, r]значенияF_N(t)определяются до уровня

Рис.12.4.

Оценкой плотности вероятности может служить гистограмм. При построении гистограммы строится статический ряд: область значений времениtразбивается на интервалы (разряды)(S_k,S_k+1) k=1,2..m. Целесообразно выбиратьm=10–20. На каждом интервале определяется частота, где-число отказов, которые наблюдаются в интервале(S_k,S_k+1);.

Статистическая плотность вероятности на каждом интервале определяется следующим образом:

Построение гистограммы иллюстрируется таблицей и рис. 12.3.

Число отказов	m1	m2	...	mk
Ji	S1S2	S2S3	...	SkSk+1
			...
			...

Площадь под гистограммой должна быть равна единице

Рис. 12.5.

Статистическая опасность(интенсивность отказов) также можно найти, построив статистический ряд:

, (12.3)

где N-общее число изделий, поставленных на испытания,

- общее число отказов изделий в течение наработки(0, t_i).

Во многих случаях не обязательно знать всю функцию распределения F(t), её плотность вероятностиq(t)и функцию опасности отказовλ(t), а достаточно знать лишь некоторые характеристики: моменты, квалитеты и другие характеристики. Используется вариационный ряд.

Начальный момент k-го порядка в случае плана [N,U,N] определяется по формуле:

. (12.4)

При k=1 имеем статистическое среднее .

Центральный момент k-го порядка:

. (12.5)

При k=2 формула (12.5) даёт статистическую дисперсию.

Число t_pтакое, чтоF(t_p)=p, гдеF(t)функция распределения, называется квантилью уровня“P”. Эмпирической квантильюуровня“P”называется одно из решений уравнения.

Мы всюду предполагаем, что функция F(t)является непрерывной.

Точечные оценки параметров распределения.

Зачастую приходится иметь дело с такой ситуацией, когда нам необходимо на основании испытаний оценить значение одного или нескольких неизвестных параметров. С этой задачей сталкиваются как при нахождении функции распределения, когда известен её аналитический вид, так и при оценке числовых характеристик случайной величины. Одним из наиболее распространённых подходов к оценке параметра является следующий подход. Пусть F(t, α) является функцией распределения случайной величиныτ. α – неизвестный параметр (αможет быть векторной величиной). Обозначим результаты независимых испытаний случайной величиныτ. Точечной оценкой параметра будем называть некоторую функцию, зависящую только от результатов испытаний и известных величин, но не от неизвестного параметра. Оценкаявляется некоторой случайной величиной и поэтому может изменяться от одной серии испытаний к другой. В качестве оценкиможно предложить большое число функцийJ, поэтому, чтобы избежать полного произвола, необходимо наложить на них некоторые естественные условия. Обычно стремятся, чтобы оценки обладали свойствами несмещённости, состоятельности и эффективности. Оценкапараметраαназывается несмещённой, если математическое ожидание оценки равно самому параметру, т.е.

. (12.6)

Если нам нужно оценить математическое ожидание случайной величины τ(a=M[τ]), то в качестве оценки можно выбрать функцию

.

Легко подсчитать, что эта оценка является несмещённой.

При оценке параметра посредством эмпирической дисперсии получается смещение. Если мы хотим получить несмещённую оценку , то следует брать функцию.

Оценка параметраαназывается состоятельной, если при увеличении числа наблюдений до бесконечности оценка сходится к оцениваемому параметру по вероятности, т.е.

(12.7).

Легко проверить, что все приведённые нами выше примеры оценок параметров “α”иявляются состоятельными, причём для параметрасостоятельными являются как оценка, так и оценка. Оценка параметраαявляется эффективной, если дисперсия оценки не превышает некоторого заданного уровня. Мы скажем, что оценкаJ₁эффективнее, чем оценкаJ₂, если. При некоторых общих ограничениях, наложенных на аналитические свойства оценокJ, можно указать нижнюю грань для всех оценок рассматриваемого класса: . Если оценкатакова, что, то оценканазывается эффективной. Оценкадля параметраαраспределенияэффективна.

Для точной оценки параметров распределений используются: графические методы, метод максимального правдоподобия, методы квантилей и моментов.