9.3. Показатели надежности при резервировании с ненагруженным резервом

Пусть имеется некоторая система (рис. 9.5) из m одинаковых уст­ройств. В этой системе устройство У1 назовем основным, остальные (m-1) - резервными. Пока основное устройство работоспособно, резерв­ные находятся в ненагруженном состоянии. Предполагается, что в этом состоянии они абсолютно надежны.

При обнаружении отказа основного устройства его замещает любое из (m-1) резервных. Так происходит при каждом очередном отказе, пока не будут использованы все (m-1) резервные устройства. Продолжительность работоспособного состояния такой системы определяется суммой:

Рис. 9.4. Резервирование замещением времени работоспо­собного состояния i-го устройства системы от момента его подключения до отказа.

Для случая экспоненциальной модели веро­ятности безотказной работы каждого из уст­ройств в [3] показано, что вероят­ность безотказной работы системы (рис. 9.5) будет определяться зависимостью

. (9.23)

Если в (9.25) осуществить замену , то выражение примет вид

(9.24)

Учитывая, что, по определению,

, (9.25)

(9.26)

это Г- функции, окончательно получим

(9.27)

Значение Г-функций от их аргументов приведены таблично в справочниках.

В частности, решая интегральное уравнение (9.22) для случая m=2, по­лучим

(9.28)

Тогда средняя наработка до отказа для этого случая

В общем же случае при произвольном m:

(9.29)

Из сопоставления соотношения (9.29) с (9.10) следует, что использование резервирования с ненагруженным резервом даст значительный выиг­рыш по средней наработке до отказа по сравнению со случаем нагружен­ного резерва.

9.4. Сопоставление общего и раздельного резервирования

Пока не затрагивался вопрос о предпочтительности общего или раз­дельного резервирования с точки зрения обеспечения лучших показателей надежности ЭУ. Для сопоставления упомянутых разновидностей резерви­рования по эффективности предположим, что имеется некоторое ЭУ, со­стоящее из п основных равнонадежных элементов (рис. 9.4). Вероятность безотказной работы одного элемента - P(t), а вероятность отказа - Q(t). Пусть как при общем, так и при раздельном резервировании кратность ре­зервирования одна и та же: . Найдем вероятность безотказной ра­боты ЭУ с общим резервированием (рис. 9.4, а):

(9.17)

с раздельным резервированием

(9.18)

Рис. 9.3. Структура систем: а – с общим резервированием, б – с резервным

Принимая во внимание, что вероятность отказа Q(t)«1, можно вос­пользоваться приближенными равенствами:

(9.19)

. (9.20)

В левой части (9.19), (9.20) стоит известное выражение бинома Ньюто­на, а в правой - два старших члена разложения бинома в ряд. Таким образом, будут справедливы приближенные равенства:

, (9.21)

, (9.22)

Откуда .

Как видим, для рассматриваемого случая вероятность отказа ЭУ с общим резервированием в раз больше, чем с раздельным. Это позволя­ет сделать вывод о предпочтительности раздельного резервирования по сравнению с общим с точки зрения повышения надежности ЭУ.