Метод проверки гипотез о законах распределения.

Задача проверки гипотезы о законах распределения начинается с выбора нулевой гипотезы. Предлагается следующая методика. По данным эксперимента определяются статистические оценки коэффициента ассиметрии и коэффициента эксцесса[1-5,13,14].

где

В теории распределений доказано, что каждому закону свойственно определенное соотношение между коэффициентами ассиметрии и эксцесса, то есть может быть простроена диаграмма, построенная на рис.12.4.

Рис.12.6. Диограмма для выбора вида закона распределения

На рис.12.4. выделены следующие характерные области и точки. Точки (0; -1,2); (0;0); (0;3); (4;6) отвечают соответственно равномерному и нормальным распределениям, распределению Лапласа и показательному распределению. Так, для любого нормального распределения , что определяет координаты точкиII. Гамма-распределение, логнормальное, распределения Стьюдента и Пуассона показаны на диаграмме прямыми, а бета-распределение представлено областью. На рисунке обозначено:I– равномерный закон;II– нормальный закон;III– закон Лапласа;IV– бета-распределение;V– закон Стьюдента;VI– гамма-распределение;VII– закон Пуассона;VIII– показательный закон;IX– логнормальное распределение.

При попадании точки в области диаграммы, для которых не определен закон распределения, выдвижение гипотетического закона должно осуществляться на основании каких-либо дополнительных априорных соображений.

Знание оценок ипозволяет приближенно определить закон распределения. Для этого по полученным значениям оценок на диаграмму наносится точка. Если она окажется вблизи от точки, прямой или области, соответствующей одному из распределений, то последнее и следует выдвинуть в качестве гипотезы.

Задача проверки гипотезы о виде распределения происходит по методу Колмогорова. В качестве показателя согласованности используется величина:

где - соответственно статистическая и теоретическая (гипотетическая) функции распределения СВ

Графические методы.

Эти методы применимы для некоторых семейств функций распределения F(t, α, β), содержащих два неизвестных параметраα, β. График функцииF(t, α, β)можно представить в виде совокупности точек на плоскости(t, p), гдеp=F(t,α,β). Основная идея графического метода состоит в том, что подбирается такая непрерывная замена координат ,, что при этом график функции распределения на плоскости , где, становится прямой линией(12.8). Используем этот факт для оценки параметровα, β.

Предположим, что в результате испытаний получены Nзначений некоторой случайной величины (например, времени безотказной работы). По этим значениям мы можем построить эмпирическую функцию распределенияF(t, α, β), то после замены переменных график, где , а , будет лежать в непосредственной близости от графика, являющегося прямой вида (12.8). Оценив с помощью линейки тангенс угла наклона“k”и свободный член“b”и приравняв их теоретическим значениям, получаем уравнения:k= Ψ(α, β), b=χ(α, β)(12.9), из которых находим оценки неизвестных значений параметровαиβ. Заметим, что графический метод применим для любого из планов[N, U, r], [N, R, r],[N, U, T], [N, R, T], [N, U, (r, T)], [N, R, (r, T)]. Например, в случае плана [N, U, (r, T)]по результатам испытаний можем построить только частьдля значенийt≤min(t_r,T)и, гдеn(T)≤r– число изделий, отказавших во время проведения испытаний. Если к полученному куску эмпирической функции распределения применить преобразования ,, то на плоскостиполучим кусок ломаной, близкой одной из прямых вида (1.2.8). По этому куску оцениваем“k”и“b”и снова приходим к уравнениям (1.2.9).

Рассмотрим пример.

Пусть имеем нормальное распределение: , гдеобозначим. Тогда. Таким образом“U”– квантиль уровня“P” нормального распределения. В качестве преобразованияJ(P)рассмотрим функцию , обратную к функцииP=Ф(t). При этом получаем

. (12.10).

Таким образом, (12.10) соответствует (12.9), когда ;;. Для удобства использования выпускается специальная координатная шкала, по оси абсцисс отложены значенияtслучайной величины,aпо оси ординат значения функции . Около каждого значения отмечается соответствующее ему значениеP. Так как , тоявляется квантилью уровня“P”нормального распределения.

Если задан вариационный ряд: t₁ ≤ t₂ ≤ …≤ t_N, то зная по таблице квантилей находим - квантиль уровня “” нормального распределения. ЗначениеP_N=0.99соответствует

По значениям иtстроим ломаную линию.

Рис. 12.7.

С помощью вероятностной бумаги можно легко проверять нормальность закона распределения, а заодно и оценивать его параметры. Если ломаная имеет заметную искривлённость, то это говорит о том, что истинный закон распределения не является нормальным. Если же искривлённости нет, то проводя “на глаз” прямую, наиболее плотно прилегающую к ломанной, легко находим оценки для μиσ: μравно абсциссе точкиА, гдеА– точка пересечения прямой с осью “t”; σ равно расстояниюAB, где“B” точка на осиt, в которой величина перпендикуляра, опущенного из точки прямой на осьt, равна 1 (рис. 12.4.) (в единицах масштаба оси абсцисс).