Решение числового примера

1 2	XB XA XB XA	ctg 1 ctg 2 (XB-XA)ctg 1 ctg 1+ctg 2	YB YA YBYA	XA XP=XA+XA	(YBYA)ctg 1	YA YP=YA+YA
5216.7 5427.4	1630.16 1380.25 +249.91	0.77349 0.71443 193.30 1.48792	3230.00 1260.50 +1969.50	1453.57 2833.82	1523.39	855.88 2116.38
1 2	XC XB XC XB	ctg 1 ctg 2 (XC-XB)ctg 1 ctg 1+ctg 2	YC YB YCYB		(YCYB)ctg 1	YB YP=YA+YA
6948.5 4715.8	3401.04 1630.16 +1770.88	0.36777 0.92402 651.28 1.29175	4133.41 3230.00 +903.41	1203.56 2833.82	332.24	- 1113.68 2116.32
					2833.82	2116.35

5.5 Определение координат дополнительного пункта методом обратной засечки (аналитическое решение задачи Потенота)

Необходимо иметь три твердых пункта, для решения задачи с контролем используют четвертый твердый пункт.

Схема задачи представлена на рис. 5.4.

Исходные данные: А (Х_а, У_а); B (X_b, Y_b); C (X_c, Y_c), D (X_d, Y_d).

Полевые измерения: горизонтальные углы ₁, ₂, ₃.

Определяемый пункт - P.

Формулы для вычисления:

1. ctg ₁ = a; ctg ₂ = b;

2. k₁ = a(Y_b - Y_a) - (X_b - X_a);

3. k₃ = b(Y_c - Y_a) - (X_c - X_a);

4. k₂ = a(X_b - X_a) + (Y_b - Y_a);

5. k₄ = b(X_c - X_a) + (Y_c - Y_a);

6. c = (k₂ - k₄) / (k₁ - k₃) = ctg _AP;

7. k₂ - ck₁ = k₁ - ck₃ (контроль вычислений);

8. Y = (k₂ - ck₁) / (1 + c²);

9. X = cY;

10. X_P = X_A + X; Y_P = Y_A + Y.

Рис. 5.4

Таблица 5.10

Решение численного примера

1	1 2 a = ctg 1 b = ctg 2	1094842 2241521 - 0.360252 +1.026320
2	XB XC XA	5653.41 8143.61 6393.71
	XB = XB - XA XC = XC - XA	- 740.30 1749.90
	XC - XB = XC - XB	2490.20

Окончание таблицы 5.10

	YB YC YA	1264.09 1277.59 3624.69
	YB = YB - YA YC = YC - YA	- 2360.60 - 2347.16
	YC - YB = YC - YB	13.5
3	k1 k3	+1590.71 - 4158.78
	k1 - k3	+5749.49
	k2 k4	- 2093.91 - 551.14
	k2 - k4	- 1542.77
	c = ctg  c2 + 1 k2 - ck1 k4 - ck3	- 0.268332 1.072002 - 1667.07 - 1667.07
4	Y YA Y X XA X	- 1555.0 3624.65 +2069.56 +417.28 6393.71 +6810.99

Таким образом, координаты из первого определения получились следующие: Xр = 6810.99 м, Yр = 2069,56 м.

Для контроля задача решается вторично с твердым пунктом D, т. е. по пунктам А, С, D (схема решения аналогичная).

Исходными данными являются: ₁=109°4842, ₃ = 1512624, X_d = 6527,81 м, Y_d = 893,64 м.

Координаты пункта Р из второго определения получились следующие: Xр = 6810,96 м, Yр = 2069,53 м.

Контроль вычислений можно осуществить следующим образом:

Определяют ctg _PD = (X_D - X_P) / (Y_D - Y_P) ,

В данном случае имеем _PD = 256°2738". Из схемы первого решения имеем:

С = ctg _PA = - 0.26833, откуда _PD = 105°0113".

Разность дирекционных углов _PD и _PA даст контрольное значение угла ₃. Имеем ()_выч = 151°2625", ()_выч - ()_изм <  m_

Оценка точности положения пункта Р.

Средние квадратические погрешности положения пункта из двух определений:

;

Для вычисления по этим формулам на клетчатой бумаге в произвольном (мелком) масштабе наносят по исходным и вычисленным координатам все пять пунктов.

С полученной схемы с точностью до 1° снимают углы АВС и ABD. Длины сторон можно получить графическим путем с той же схемы, приняв их в формулах до сотых долей километра. Длины сторон также можно получить из решения обратных задач между исходными пунктами и определяемым.

Контроль определения пункта Р заключается в соблюдении неравенства:

___________________

r =  (X_P - X_P)² + (Y_P - Y_P)² < 3 M r,

_________

где r, как и в случае прямой засечки, Мr = 1/2М₁­² + М₂².