Державний вищий навчальний заклад
«Запорізький національний університет»
Міністерства освіти і науки України
О.В. Величко, І.Г. Ткаченко, І.Г. Величко
АЛГЕБРА ТА ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ
Збірник контрольних завдань для студентів
напряму підготовки «Математика»
Затверджено
вченою радою ЗНУ
Протокол № від
Запоріжжя
2010
УДК 511.2 + 512.62
ББК 22.132я73.
Величко О.В., Ткаченко І.Г., Величко І.Г. Алгебра та теорія чисел: Збірник контрольних завдань для студентів напряму підготовки «Математика». – Запоріжжя: ЗНУ, 2010. – 98 с.
У даному збірнику наведені варіанти контрольних робіт з основних розділів алгебри та теорії чисел. Кожна контрольна робота ілюструється прикладами розв’язування одного типового варіанту. Збірник можна також використовувати при вивченні дисципліни «Алгебра та геометрія» для студентів напрямів підготовки «прикладна математика» й «інформатика» денного та заочного відділень.
Збірник контрольних вправ призначений для студентів напряму підготовки «математика».
Рецензент П.Г. Стєганцева
Відповідальний за випуск І.Г. Ткаченко
ЗМІСТ
|
Вступ…………………………………………………………......... |
4 |
|
Завдання……………………………………………...…...………. |
5 |
|
Варіант № 1……………………………………………………….. |
8 |
|
Варіант № 2……………………………………………………….. |
10 |
|
Варіант № 3……………………………………………………….. |
12 |
|
Варіант № 4……………………………………………………….. |
14 |
|
Варіант № 5……………………………………………………….. |
16 |
|
Варіант № 6……………………………………………………….. |
18 |
|
Варіант № 7……………………………………………………….. |
20 |
|
Варіант № 8……………………………………………………….. |
22 |
|
Варіант № 9……………………………………………………….. |
24 |
|
Варіант № 10……………………………………………………… |
26 |
|
Варіант № 11……………………………………………………… |
28 |
|
Варіант № 12……………………………………………………… |
30 |
|
Варіант № 13……………………………………………………… |
32 |
|
Варіант № 14……………………………………………………… |
34 |
|
Варіант № 15……………………………………………………… |
36 |
|
Розв’язання типового варіанта…………………………………... |
38 |
|
Література……………………………………………………........ |
86 |
|
Таблиці індексів……………………...…................................... |
88 |
|
Таблиця простих чисел……………...…................................... |
96 |
ВСТУП
Курс «Алгебра та теорія чисел» є одним з базових курсів. Поняття, які вивчаються в цьому курсі, використовуються майже в усіх математичних дисциплінах, серед яких «Математичний аналіз», «Лінійна алгебра», «Диференціальні рівняння», «Рівняння в частинних похідних».
Метою курсу є засвоєння студентами теоретичних відомостей та практичних вмінь, які стосуються комплексних чисел, теорії многочленів від однієї та кількох змінних, теорії порівнянь та неперервних дробів.
Основні завдання курсу:
– ознайомити студентів з основними поняттями алгебри і теорії чисел;
– вивчити найбільш вживані алгоритми алгебри і теорії чисел;
– простежити взаємозв’язок предметів алгебри та теорії чисел та логіку розвитку теоретичних побудов в цих дисциплінах;
– продемонструвати застосування теоретичних відомостей до розв’язування практичних задач.
За підсумками вивчення курсу «Алгебра і теорія чисел» студент повинен знати основні поняття, факти та теореми алгебри і теорії чисел.
Вміти:
– застосувати основні поняття, твердження та теореми до розв’язку задач;
– наводити приклади, які демонструють суттєвість теоретичних понять чи фактів або спростовують хибні твердження.
У даному посібнику наведено типові завдання з основних розділів алгебри та теорії чисел: «Комплексні числа», «Цілі числа», «Теорія многочленів», «Порівняння», «Ланцюгові дроби». По кожній темі запропоновано 15 варіантів для самостійного розв’язання. Наведено розв’язання типового варіанту. Розв’язок містить короткі теоретичні відомості.
Номер варіанта обирається згідно з номером студента у списку (якщо номер перевищує 15, то від нього потрібно відняти число 15).
Розв’язані задачі записуються в окремому зошиті. Для кожної задачі повинна бути повністю записана умова та розв’язок. Робота захищається перед викладачем, при цьому студент повинен знати теоретичні відомості та означення, які використовувалися в задачах.
Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
1.
Комплексне
число
представити в тригонометричній і
показниковій формах.
2.
Комплексне число
представити у вигляді
.
3.
Знайти
множину точок на площині комплексного
змінного
,
яка визначається наступними умовами
(графічно).
4.
Скласти квадратне рівняння, яке має
корені
.
Розв’язати його. (
– номер варіанта).
5. Варіанти 1-9. Записати дану тригонометричну функцію у вигляді лінійної комбінації тригонометричних функцій кратних дуг.
Варіанти
10-15. Записати задану тригонометричну
функцію через функції
та
.
Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
1.
Для чисел
та
:
а)
за допомогою канонічних розкладів
знайти найбільший спільний дільник
та найменше спільне кратне
;
б)
за допомогою алгоритму Евкліда знайти
і визначити цілі числа
такі, що
.
2.
Для числа
знайти значення функції Ейлера від
,
суму і число усіх натуральних дільників
(число
взяти із завдання № 1).
3. Розв’язати систему в натуральних числах.
Контрольна робота № 3 «Порівняння»
1.
З’ясувати, чи є наведена система залишків
за модулем
повною. Побудувати приведену систему
залишків за цим модулем.
2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня.
4.
Знайти
останню цифру числа
.
5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня.
6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
Контрольна робота № 4 «Порівняння старших степенів»
1.
Обчислити
символ Лежандра
.
2.
Перевірити, чи має розв’язок порівняння
.
3.
Перевірити, чи є число
первісним коренем за модулем
.
У разі позитивної відповіді побудувати
таблицю індексів за даним модулем.
4. За допомогою індексів розв’язати порівняння.
5. За допомогою індексів розв’язати показникове порівняння.
Контрольна робота № 5 «Ланцюгові дроби»
1.
Перетворити у ланцюговий дріб число
.
Знайти підхідний дріб
.
2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
Контрольна робота № 6 «Многочлени»
1.
Використовуючи схему Горнера, обчислити
та розкласти многочлен
за степенями
.
2.
Визначити всі раціональні корені
многочлена
.
3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння.
4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня.
Контрольна робота № 7 «Ділення многочленів.
Найбільший спільний дільник многочленів»
1.
Відділити кратні корені многочлена
.
2.
За допомогою теореми Штурма відділити
дійсні корені многочлена
.
3.
Довести незвідність многочлена
над полем
,
використовуючи критерій Ейзенштейна.
4. Наступні симетричні многочлени виразити через елементарні.
5.
Знайти значення виразу
,
де
– корені многочлена
.
Варіант № 1
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
,
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 2
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 3
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 4
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 5
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 6
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 7
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 8
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 9
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 10
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 11
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 12
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 13
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 14
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант № 15
Контрольна робота № 1
1.
а)
,
б)
,
в)
.
2.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
а)
,
б)
5.
.
Контрольна робота № 2
1.
.
3.
Контрольна робота № 3
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Контрольна робота № 4
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.
.
Контрольна робота № 5
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 6
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольна робота № 7
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.