- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Ланцюговим дробом називається дріб , де – неповні частки.
! Теоретичні відомості !
Цілою частиною числа називається найбільше ціле число, що не перевищує . Дробовою частиною числа називається число, що дорівнює .
! Теоретичні відомості !
Неповні частки ланцюгового дробу для числа можна знаходити наступним чином:
, ,
якщо вважати, що .
Знайдемо неповні частки для заданого числа :
,
,
.
Легко бачити, що , а тобто й . Неважко показати, що .
Таким чином, .
! Теоретичні відомості !
Підхідним дробом називається дріб .
! Теоретичні відомості !
Чисельники й знаменники підхідних дробів пов’язані наступними рекурентними співвідношеннями:
, .
Усі підхідні дроби можна знайти безпосередньо з їх запису, але на практиці зручніше користуватися наступною таблицею. Для того, щоб заповнити пусту клітину, необхідно число, яке стоїть у другому рядку над незаповненою клітиною, помножити на число, що стоїть зліва від незаповненої клітини й додати наступне число, що стоїть зліва.
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
– |
– |
6 |
12 |
12 |
12 |
12 |
|
0 |
1 |
6 |
73 |
882 |
10657 |
128766 |
|
1 |
0 |
1 |
12 |
145 |
1752 |
21169 |
Наприклад, чисельник першого підхідного дробу знаходиться наступним чином:
.
Отже, .
Відповідь. , .
2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
Розв’язання. З умови зрозуміло, що , , , та . Для знаходження підхідних дробів складаємо таблицю:
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
– |
– |
3 |
2 |
5 |
8 |
1 |
|
0 |
1 |
3 |
7 |
38 |
311 |
349 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
11 |
90 |
101 |
Отже, , , , , , .
Відповідь. , , , , , .
3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Вираз , якщо число не є точним квадратом, називається квадратичною ірраціональністю.
Уведемо наступне позначення:
.
Знайдемо значення , а для цього визначимо підхідні дроби для ланцюгового дробу :
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
– |
– |
4 |
2 |
||
0 |
1 |
4 |
9 |
||
1 |
0 |
1 |
2 |
Тобто .
Розв’яжемо отримане рівняння відносно . Після перетворень отримаємо наступне квадратне рівняння:
.
Його корені , . З отриманих значень обираємо те, ціла частина якого дорівнює 4, оскільки . Отже .
Далі виразимо число через , для чого знайдемо підхідні дроби
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
– |
– |
0 |
1 |
3 |
||
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
||
1 |
0 |
1 |
1 |
4 |
Тобто
.
Відповідь. .