4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Нехай задано рівняння четвертого степеня

.

Заміною змінних зведемо його до вигляду

.

Виділимо повний квадрат:

.

Підберемо значення так, щоб вираз був повним квадратом. Для цього необхідно, щоб дискримінант дорівнював нулю.

Таким чином, задача зводиться до розв’язання кубічного рівняння

,

розв’язавши яке ми зможемо знайти , й тим самим зможемо записати, що

або

.

Отже, для знаходження отримуємо сукупність рівнянь

Для заданого рівняння маємо, що

, , , .

Робимо заміну , тоді

.

Після спрощення отримуємо:

.

Перепишемо отримане рівняння у вигляді

.

Далі виділимо у лівій частині отриманої рівності повний квадрат:

або

.

У лівій частині ще раз виділяємо повний квадрат, уводячи у розгляд параметр :

,

перепишемо отриману рівність наступним чином:

. (*)

Обираємо параметр так, щоб права частина була повним квадратом. Для цього необхідно і достатньо, щоб дискримінант квадратного тричлена по дорівнював нулю, тобто

.

Або, що теж саме,

.

Зауваження. Отримане рівняння називається кубічною резольвентою вихідного рівняння четвертого степеня.

Число буде коренем цього кубічного рівняння (корінь можна визначаємо в будь-який спосіб. Ми скористалися способом визначення раціональних коренів многочлену, який описано в попередній задачі). З урахуванням цього, рівняння (*) перепишеться у вигляді:

,

.

Отримана рівність еквівалентна наступній сукупності:

Розв’язуємо квадратні рівняння

;

.

Повертаючись до змінної , остаточно будемо мати, що

, .

Відповідь. , .

Контрольна робота № 7

1. Відділити кратні корені многочлена .

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Число називається –кратним коренем полінома тоді і тільки тоді, коли , причому .

! Теоретичні відомості !

Число називається –кратним коренем полінома тоді і тільки тоді, коли , .

Знайдемо похідну заданого многочлена:

.

За допомогою алгоритму Евкліда знайдено НСД поліномів та .

Зауваження. Для спрощення обчислень многочлени можна множити на будь-яке ненульове число.

–
–

–
–
	0

Отже, .

Легко бачити, що . Число є коренем кратності 1 для многочлена і значить воно є коренем кратності для многочлена . Значення є коренем кратності 2 для многочлена , а, отже, воно є коренем кратності для многочлена .

Таким чином, . Частка від такого ділення дорівнює , а тоді .

Відповідь. .