Державний вищий навчальний заклад

«Запорізький національний університет»

Міністерства освіти і науки України

О.І. Александров, Н.І.–В. Манько

ЗБІРНИК ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

З ФУНКЦІОНАЛЬНОГО АНАЛІЗУ

для студентів математичного факультету

Затверджено

вченою радою ЗНУ

Протокол № від

Запоріжжя

2011

УДК

ББК

Александров О.І., Манько Н.І.–В. Збірник індивідуальних завдань з функціонального аналізу для студентів математичного факультету.–Запоріжжя: ЗНУ, 2011.– 66 с.

Збірник індивідуальних завдань призначений для студентів III–V курсів та магістрів математичного факультету спеціальності «математика» за всіма освітньо-кваліфікаційними рівнями підготовки (бакалавр, спеціаліст, магістр). У ньому подано варіанти індивідуальних завдань, передбачених робочими програмами з дисциплін «Функціональний аналіз», «Теорія міри та інтегралу», «Вибрані питання функціонального аналізу», «Вибрані питання нелінійного функціонального аналізу і теорії операторів», а також наведено список рекомендованої літератури із зазначених предметів.

Рецензент Приварников А.К.

Відповідальний за випуск Манько Н.І.–В.

ЗМІСТ

Вступ……………………………………………………………………………… 1 Аналіз у метричних просторах……………………………………………….. 2 Лінійний функціональний аналіз……………………………………………... 3 Вибрані питання нелінійного функціонального аналізу і теорії операторів 4 Вибрані питання функціонального аналізу………………………………….. 5 Теорія міри та інтегралу……………………………………………………….

4 5 19 30 37 48

ВСТУП

Цей збірник завдань розроблено для студентів університетів, які отримують вищу освіту за спеціальністю «Математика». Він містить у собі 115 варіантів індивідуальних завдань з дисциплін «Функціональний аналіз», «Теорія міри та інтегралу», «Вибрані питання функціонального аналізу», «Вибрані питання нелінійного функціонального аналізу і теорії операторів». Перелічені дисципліни поєднує те, що всі вони є повязаними одна з одною частинами функціонального аналізу – однієї з найважливіших областей сучасної математики.

Задачі, обєднані в одному варіанті, мають характер семестрового завдання з відповідної дисципліни. Вони отримуються індивідуально кожним студентом, який повинен виконати і захистити це завдання протягом семестру. Робота над виконанням завданням має бути самостійною і повинна спиратися на методики, які викладені на лекціях, практичних заняттях, або містяться в рекомендованій літературі. Оцінка, яку отримує студент за виконане завдання, повина враховувати не зовсім однаковий рівень складностізадач цього завдання і впливати на атестаційні показники модульного контроля, а також мати свій внесок у загальну підсумкову оцінку з відповідної дисципліни.

Збірник складається з п’яти розділів, перші два з яких відповідають семестровим складовим частинам дисципліни «Функціональний аналіз», а останні три розділи містять у собі завдання з дисциплін, назви яких співпадають з назвами цих розділів.

1 Аналіз у метричних просторах

ВАРІАНТ 1

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне взаємно однозначне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина строго зростаючих на відрізку функцій простору відкритою у цьому просторі?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині визначена метрика .Чи є отриманий таким чином метричний простір повним?

ВАРІАНТ 2

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне взаємно однозначне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина неспадних на відрізку функцій простору відкритою у цьому просторі?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині визначена метрика .Чи є отриманий таким чином метричний простір повним?

ВАРІАНТ 3

1. Нехай і – довільні множини, – довільна підмножина множини ; – довільне взаємно однозначне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина строго зростаючих на відрізку функцій простору відкритою у цьому просторі?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині визначена метрика .Чи є отриманий таким чином метричний простір повним?

ВАРІАНТ 4

1. Нехай і – довільні множини, – довільна підмножина множини ; – довільне взаємно однозначне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої

5. Чи є множина всіх неспадних на відрізку функцій простору відкритою у цьому просторі?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині всіх ірраціональних чисел визначена метрика .Чи є отриманий таким чином метричний простір повним?

ВАРІАНТ 5

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині визначених на відрізку функцій задана метрика . Чи є отриманий таким чином метричний простір повним?

ВАРІАНТ 6

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: , . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині всіх упорядкованих сукупностей дійсних чисел визначена метрика , де , . Довести, що отриманий таким чином метричний простір є повним?

ВАРІАНТ 7

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині всіх упорядкованих сукупностей дійсних чисел визначена метрика , де , .Чи є отриманий таким чином метричний простір повним?

ВАРІАНТ 8

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне взаємно однозначне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. Довести, що метричний простір є повним.

ВАРІАНТ 9

1. Нехай і – довільні множини, – довільна підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. Довести, що метричний простір є повним.

ВАРІАНТ 10

1. Нехай і – довільні множини, – довільна підмножина множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: , , . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. Довести, що метричний простір є повним.

ВАРІАНТ 11

1. Нехай і – довільні множини, – довільна підмножина множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині всіх дійсних чисел визначена метрика .Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?

ВАРІАНТ 12

1. Нехай і – довільні множини, – довільна підмножина множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині всіх дійсних чисел визначена метрика .Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?

ВАРІАНТ 13

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині всіх дійсних чисел визначена метрика .Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?

ВАРІАНТ 14

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ?

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині всіх додатних дійсних чисел визначена метрика .Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?

ВАРІАНТ 15

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. Довести, що інтегральне рівняння має єдиний розв’язок у просторі .

ВАРІАНТ 16

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. Довести, що інтегральне рівняння має єдиний розв’язок у просторі .

ВАРІАНТ 17

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина строго зростаючих на відрізку функцій простору замкненою у цьому просторі?

7. Довести, що інтегральне рівняння має єдиний розв’язок у просторі .

ВАРІАНТ 18

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина неспадних на відрізку функцій простору замкненою у цьому просторі?

7. Довести, що інтегральне рівняння має єдиний розв’язок у просторі .

ВАРІАНТ 19

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина всіх строго зростаючих на відрізку функцій простору замкненою у цьому просторі?

7. Довести, що інтегральне рівняння має єдиний розв’язок у просторі .

ВАРІАНТ 20

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, якщо ?

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина всіх неспадних на відрізку функцій простору замкненою у цьому просторі?

7. Довести, що інтегральне рівняння має єдиний розв’язок у просторі .

ВАРІАНТ 21

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Множини , і відображення визначені співвідношеннями: , . Чи існує відображення , яке є оберненим до ?

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. Довести, що метричний простір є повним.

ВАРІАНТ 22

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої

5. Чи є відкрита куля метричного простору відкритою множиною ціого простору?

6. Чи є відкрита куля метричного простору замкненою множиною ціого простору?

7. На множині визначена метрика , де , . Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?

ВАРІАНТ 23

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне взаємно однозначне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої

5. Чи є замкнена куля метричного простору відкритою множиною ціого простору?

6. Чи є замкнена куля метричного простору замкненою множиною ціого простору?

7. На множині визначена метрика , де , . Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?

ВАРІАНТ 24

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне взаємно однозначне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині визначена метрика , де , . Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?

ВАРІАНТ 25

1. Нехай і – довільні множини, і – довільні підмножини множини ; – довільне відображення. Чи виконується співвідношення ?

2. Побудувати взаємно однозначне відображення множини на множину .

3. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої ,

4. Чи збігається у просторі послідовність його елементів, для якої

5. Чи є множина відкритою у просторі ?

6. Чи є множина замкненою у просторі ?

7. На множині визначена метрика . Чи є отриманий у такий спосіб метричний простір повним?