2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .

Розв’язання. Для заданого порівняння , .

! Теоретичні відомості !

Якщо символ Лежандра , то порівняння розв’язків не має. Якщо ж символ Лежандра , то порівняння має два класи розв’язків.

Знаходимо символ Лежандра . З того що, , маємо, що

.

Так як , то задане порівняння розв’язків не має.

Відповідь. Порівняння розв’язків не має.

3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Ціле число називається первісним коренем за модулем , якщо и .

Якщо число 3 є первісним коренем за модулем 7, то кожне число від 1 до 6 повинно бути представлено залишком від ділення деякого степеня трійки на сім.

Знайдемо функцію Ейлера від 7.

! Теоретичні відомості !

Якщо – просте число, то .

Так як сім – це просте число, то . Переконаємось, що :

.

Тепер покажемо, що :

,

,

,

,

.

Отже, все вище наведене, показує, що трійка є первісним коренем за модулем сім.

Побудуємо таблицю індексів за модулем 7.

! Теоретичні відомості !

Число називається індексом числа за основою , якщо , . Позначається

У даному випадку , . Наприклад, , тому :

	1	2	3	4	5	6
	6	2	1	4	5	3

4. За допомогою індексів розв’язати порівняння

а) ; б) .

Розв’язання. а) Спочатку перетворимо коефіцієнти порівняння так, щоб вони стали натуральними числами, що не перевищують 97:

.

! Теоретичні відомості !

Властивості індексів

Нехай – просте число, – первісний корінь за модулем , – деякі цілі числа, тоді:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Проіндексуємо отримане порівняння та використаємо вище наведені властивості:

,

.

Знайдемо відповідні індекси, для цього використаємо таблиці індексів, що знаходяться в додатках. У лівих таблицях у рядку «Модулі» знаходимо 97, а у стовпчику «Числа» знаходимо 41, на перетину рядка і стовпчика знаходиться число 85, тобто . Аналогічно знаходимо, що . Позначимо .

Порівняння приймає вид:

.

Розв’язавши його, знаходимо, що

,

тобто

Використовуючи таблиці антиіндексів (праві таблиці у додатках), знаходимо, що

.

б) Індексуємо обидві частини заданого порівняння:

,

,

,

,

.

Таким чином

Відповідь. а) .

б)

5. За допомогою індексів розв’язати показникове порівняння а) ; б) .

Розв’язання. а) Індексуємо обидві частини конгруенції

.

або

Перевіримо порівняння на розв’язність: , але , тому порівняння розв’язків не має.

б) Індексуємо:

.

Дане порівняння має один клас розв’язків, так як . Знайдемо його за допомогою метода Ейлера:

.

Функція Ейлера

,

тобто

.

Отже, .

Відповідь. а) порівняння розв’язків не має.

б) .

Контрольна робота № 5