1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Повна система залишків за модулем – це набір з цілих чисел, які мають попарно різні остачі при діленні на .

Замінимо кожне з чисел заданої системи на його залишок за модулем , матимемо систему . Оскільки є числа, які зустрічаються більше ніж один раз, то ця система не є повною системою залишків за модулем 9.

! Теоретичні відомості !

Приведена система залишків за модулем – це набір з цілих чисел, які мають попарно різні остачі при діленні на і є взаємно простими з .

Повну систему залишків за модулем складають, наприклад, числа . Залишимо із них лише ті, які є взаємно простими з . Отримаємо множину , яка і є приведеною системою залишків.

Відповідь. Задана система не є повною. Приведена система залишків .

2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Розглянемо порівняння та позначимо .

Якщо , то порівняння не має розв’язків.

Якщо , то порівняння має розв’язків. В цьому разі задане порівняння еквівалентне порівнянню .

Важливий частинний випадок: якщо , то порівняння має один розв’язок.

У нашому випадку для порівняння маємо, що , , . З того, що , робимо висновок, що порівняння має один клас розв’язків.

! Теоретичні відомості !

Два числа та називаються порівнянними за модулем , якщо їх різниця ділиться націло на :

.

Якщо

Випишемо повну систему залишків, наприклад, . Підставляємо ці значення безпосередньо у порівняння:

,

,

,

,

,

,

,

.

Оскільки порівняння має один клас розв’язків та є розв’язком заданого порівняння, то інших розв’язків немає, і випробування можна перервати.

Відповідь. .

3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .

Розв’язання. У прикладі 2 було показано, що дане порівняння має один клас розв’язків.

! Теоретичні відомості !

Якщо , та , то обидві частини порівняння можна скорочувати на .

.

Після скорочення на – 4, маємо:

.

Відповідь. .

4. Знайти останню цифру числа .

Розв’язання. Остання цифра заданого числа співпадає з залишком від ділення цього числа на 10. Тобто нам потрібно знайти таке число , що має місце порівняння:

! Теоретичні відомості !

Теорема Ейлера. Якщо , то має місце співвідношення

.

! Теоретичні відомості !

Натуральне число називається простим, якщо воно має рівно два натуральних дільника: одиницю та саме це число.

! Теоретичні відомості !

Мала теорема Ферма. Якщо – просте число, , то

.

Оскільки 10 є складеним числом, то застосуємо теорему Ейлера:

.

Обчислимо функцію Ейлера від 10:

.

Отже,

.

Скористаємося тим, що , тоді

.

Таким чином, остання цифра дорівнює трійці.

Відповідь. 3.