5.3 Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Гаусса)

Для решения задачи с контролем необходимо иметь три твердых пункта. Формулы Гаусса применяются в том случае, когда между твердыми пунктами нет видимости.

Схема решения задачи представлена на рис. 5.2.

Исходные данные: твердые пункты A (X_A, Y_A), В (X_B,Y_B), С (X_C ,Y_C); дирекционные углы твердых линий. Полевые измерения: горизонтальные углы ₁, ₂, ₃. Определяется пункт Р.

Формулы для решения задачи:

X_P  X_A = (X_A tg ₁  Y_A  X_B tg ₂ + Y_B) / (tg ₁  tg ₂) =

= ((X_A  X_B)  tg ₂  (Y_A  Y_B)) / (tg ₁  tg ₂) ,

X_P = X_A + X_A,

Y_P = (X_P  X_A)  tg ₁ + Y_A, Y_P = (X_P  X _A) tg ₂ + Y_B.

Контроль вычислений:

tg ₁  tg ₂ = (tg ₁  tg ₂ + 1)  tg(₁  ₂)

Если значение ₁ или ₂ близко к 90° или 270°, то за окончательное значение Y_р берут то, которое получилось по меньшему по абсолютной величине значению тангенса. Для контроля вычисляют приращения координат с пункта В.

Рис. 5.2

Таблица 5.6

Определение координат пункта P

1 2	XA XB XA XB	tg 1 tg 2 (XA-XB)tg 2 tg 1tg 2	YA YB YAYB	XA XP=XA+XA	XP XA XPXA	tg 1 (XPXA)tg 1	YA YP
3029.4 31713.5	1380.25 1630.16 - 249.91	0.58881 -0.92520 +231.22 +1.51401	1260.50 3230.00 -1969.50	1453.57 2833.82	2833.82 1380.25 1453.57	+0.58881 +855.88	1260.50 2116.38
2 3	XB XC XB XC	tg 2 tg 3 (XB-XC)tg 3 tg 2tg 3	YB YC YBYC	XB XP=XB+XB	XP XB XPXB	tg 2 (XPXB)tg 2	YB YP
31713.5 25417.8	1630.16 3401.04 -1770.88	-0.92520 +3.55600 -6297.25 -4.48120	3230.00 4133.41 -903.41	1203.66 2833.82	2833.82 1630.16 1293.56	-0.92520 -1113.53	3230.00 2116.47
	Среднее			2833.82			2116.42

Контроль определения: для выявления ошибок полевые измерений задачу решают дважды: от пунктов А, В и, второй раз, от пунктов В, С.

Оценка точности определения пункта Р.

Расхождение между координатами пункта Р из двух решений определяется формулой

_____________________

r = (X_P  X_P) ² + (Y_P  Y_P)² < 3 M_r;

_________

M _r = M₁² + M₂²;

_________

M₁ = (m  (S₁² + S₂²) / (  sin ₁));

________

M₂ = (m  (S₂² + S₃²) / (  sin ₂)).

Длины линий S1, S2, S3 определяют из решения обратных геодезических задач.

При допустимости расхождений за окончательные значения принимают среднее арифметическое полученных координат пункта Р.

5.4 Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Юнга)

Для однократной засечки необходимо иметь два твердых пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твердого пункта.

Схема решения задачи представлена на рис. 5.3.

Исходные данные: твердые пункты А (X_A, Y_A), В (X_B, Y_B), С (X_C,У_C).

Полевые измерения: горизонтальные углы ₁, ₂, ₁, ₂.

Определяется пункт Р.

Формулы для решения задачи:

X_P  X_A = ((X_B  X_A) ctg ₁ + (Y_B  Y_A)) / (ctg ₁ + ctg ₂);

X_P = X_A + X_A;

Рис. 5.3

Оценка точности определения пункта Р.

Вычисление СКП из 1-го и 2-го определений.

_______

M₁ =(m S₁² + S₂²) /  sin₁;

_______

M₁ =(m S₁² + S₂²) /  sin₂.

Значения величин, входящих в приведенные формулы следующие: m_ = 5',  =2062б5", ₁ = 7315.9, ₂ = 62°55.7, S₁=1686,77 м; S₂ = 1639,80 м; S₃ = 2096, 62 м.

Стороны засечки найдены из решения обратных задач.

_________

М₁ = ( 52.86 + 2.69 / (2 10⁵0.958) = 0,06 м.

_________

М₂ = ( 5  2.69 + 4.41 ) / (2 10⁵0.890) = 0,07 м.

________ _____________

М_r =  М₁² + М₂² , M_r = (0,06)² + (0,07)² = 0,09 м.

Расхождение между координатами из двух определений

____________________

r = (X_P  X_P)² + (Y_P  Y_P)² не должно превышать величины 3 M_r.

____________________________________ _____

г = (2833.82  2833.82)² + (2116.38  2116.32)² = 0.0­036 = = 0.06 м.

На основании неравенства r = 0,06 м < 3·0,09 можно сделать вывод о качественном определении пункта Р.

За окончательные значения координат при­нимают среднее из двух определений.

Таблица 5.8