1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп
Пусть некоторая поверхность S разделяет среды 1 и 2 (рис. 2).
Рис. 2.
Рассмотрим некоторую точку на этой поверхности. Вектор единичной нормали к поверхности S в этой точке направлен из среды 1 в среду 2. Тогда поведение векторов H, B, E, D в этой точке, в соответствии с уравнениями Максвелла описываются следующим образом
,
где
– поверхностная плотность тока, А/м.
Если
= 0, тоH1t
– H2t
=
0.
.
Если E2ct – E1ct = 0, то E2t – E1t = 0
,
т. е. 
или 
Здесь обозначено: H1 – вектор напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H2 – то же в среде №2; H1t – тангенциальная (касательная) составляющая вектора напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H2t – то же в среде №2; E1 вектор полной напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E2 – то же в среде №2; E1c – сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E2с – то же в среде №2; E1t – тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E2t – то же в среде №2; E1сt – тангенциальная сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E2t – то же в среде №2; B1 – вектор магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B2 – то же в среде №2; B1n – нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B2n – то же в среде №2; D1 – вектор электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D2 – то же в среде №2; D1n – нормальная составляющая вектора электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D2n – то же в среде №2; σ – поверхностная плотность электрического заряда на границе раздела сред, измеряемая в Кл/м2.
Закон сохранения заряда
Если отсутствуют сторонние источники тока, то
,
а
в общем случае
,
т. е. вектор плотности полного тока не
имеет истоков, т. е. линии полного тока
всегда замкнуты
Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме
Подставляя,
получим
.
Это равенство выражает закон сохранения заряда в интегральной форме.
Граничные условия для плотности тока
,
т. е. 
Нормальная составляющая полной плотности тока всегда непрерывна. Если отсутствуют сторонние источники тока, то
.
Скачок нормальной составляющей плотности тока проводимости на поверхности раздела сред равен скорости изменения поверхностной плотности электрического заряда.
Теорема Умова-Пойнтинга
Объёмная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в ЭМП, равна
(1)
Электромагнитная мощность, потребляемая внутри объёма V равна
Эта мощность поступает в объем V через замкнутую поверхность S из окружающего пространства, значит электромагнитная мощность, излучаемая объемом V в окружающее пространство, равно
(2)
В соответствии с тождеством (1)
Это и есть уравнение баланса мощностей для объема V. В общем случае в соответствии с равенством (3) электромагнитная мощность, генерируемая источниками внутри объема V, идет на тепловые потери, на накопление энергии ЭМП и на излучение в окружающее пространство через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.
Подынтегральное выражение в интеграле (2) называется вектором Пойнтинга:
,
где П измеряется в Вт/м2.
Этот вектор равен плотности потока электромагнитной мощности в некоторой точке наблюдения. Равенство (3) – есть математическое выражение теоремы Умова-Пойнтинга.
Электромагнитная мощность, излучаемая областью V в окружающее пространство равна потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность S, ограничивающую область V.