- •Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля Abstract
- •Введение
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •1.1. Определение электромагнитного поля. Математический аппарат теории электромагнитного поля
- •1.2. Физические величины, характеризующие эмп
- •В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна: , где e измеряется в в/м.
- •1.3. Источники электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.5. Основные законы теории электромагнитного поля Уравнения эмп в интегральной форме
- •Уравнения Максвелла для неподвижных сред
- •Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды
- •Энергия электромагнитного поля
- •Примеры применения matlab
- •1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп
- •Закон сохранения заряда
- •Граничные условия для плотности тока
- •Теорема Умова-Пойнтинга
- •Пример применения matlab
- •2. Электростатическое поле
- •2.1. Основные уравнения электростатики
- •Граничные условия для векторов электростатического поля
- •Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля
- •Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то
- •Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения matlab
- •Энергия системы заряженных проводников
- •Понятие о методе изображений
- •Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа
- •2.2. Электростатические поля простых геометрических форм Поле электрического диполя
- •В результате получим
- •Окончательно получим
- •Расчёт и визуализация поля электрического диполя в системе matlab
- •Поле бесконечно длинной заряженной оси
- •2.3. Электростатические поля простых двухпроводных линий Поле двух разноименно заряженных осей
- •Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями
- •Поле и емкость системы цилиндр – плоскость
- •Поле и ёмкость двухпроводной линии
- •Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли
- •Систему уравнений (2) можно записать иначе
- •2.4. Распределение зарядов и потенциалов в системе заряженных проводников
- •3.2. Граничные условия для векторов электрического поля постоянного тока
- •3.3. Аналогия между электрическим полем постоянного тока в проводнике и электростатическим полем в диэлектрике
- •3.4. Электрическое поле в диэлектрике вблизи проводника с током
- •3.5. Электрическое поле в несовершенных изолирующих средах
- •3.6. Электрическое моделирование физических полей
- •4. Магнитостатическое поле
- •4.1. Основные законы магнитостатики Уравнения магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах
- •Граничные условия для векторов магнитного поля
- •Векторные уравнения Пуассона и Лапласа
- •Краевая задача магнитостатики для неоднородных сред
- •Магнитное поле элемента тока
- •4.2. Интегральные параметры магнитостатического поля
- •Потокосцепление. Собственная и взаимная индуктивности
- •Вычисление взаимной индуктивности круглых и прямоугольных контуров в системе matlab
- •4.3. Частные случаи плоскопараллельных магнитных полей постоянных токов Распределение векторного потенциала в случае одиночного провода круглого сечения
- •Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •Магнитное поле и индуктивность коаксиального кабеля
- •4.4. Магнитное поле цилиндрической катушки
- •Расчёт распределения напряжённости магнитного поля на оси многослойной цилиндрической катушки в системе matlab
- •4.5. Скалярная краевая задача анализа магнитостатического поля
- •4.6. Магнитное экранирование
- •4.7. Пространственные интегральные уравнения в магнитостатике
- •4.8. Мощность, передаваемая по двухпроводной линии постоянного тока
- •5. Переменное гармоническое электромагнитное поле
- •5.1. Основные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме Гармоническое электромагнитное поле. Основные понятия и определения
- •Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме
- •Используя соотношения (3) и (4), можно доказать, что
- •Теорема о единственности
- •5.2. Уравнения математической физики относительно потенциалов гармонического электромагнитного поля Комплексные параметры электрофизических свойств среды
- •Системы электродинамических потенциалов и уравнения математической физики для гармонического электромагнитного поля
- •Излучатель Герца
- •Элементарный магнитный излучатель
- •5.3. Частные приложения теории гармонического электромагнитного поля Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости
- •Плоская волна в однородном проводнике
- •Поверхностный эффект в проводящей пластине
- •Поверхностный эффект в круглом проводе
- •Заключение
Пример применения matlab
Задача.
Дано: Контур с электрическим током I в пространстве представляет собой периметр треугольника, декартовы координаты вершин которого заданы: x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2, z3. Здесь нижние индексы – номера вершин. Вершины пронумерованы в направлении протекания электрического тока.
Требуется составить функцию MATLAB, вычисляющую вектор дипольного магнитного момента контура. При составлении m-файла можно предполагать, что пространственные координаты измеряются в метрах, а ток – в амперах. Допускается произвольная организация входных и выходных параметров.
Решение. Ниже приведён текст m-функции.
% m_dip_moment - вычисление магнитного дипольного момента треугольного контура с током в пространстве
% pm = m_dip_moment(tok,nodes)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% tok - ток в контуре;
% nodes - квадратная матрица вида [x1, x2, x3; y1, y2, y3; z1, z2, z3].’ , в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.
% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР
% pm - матрица-строка декартовых компонентов вектора магнитного дипольного момента.
function pm = m_dip_moment(tok,nodes);
pm=tok*[det([ones(3,1) nodes(:,[2,3])]) det([ones(3,1) nodes(:,[3,1])]) det([ones(3,1) nodes(:,[1,2])])]/2;
% В последнем операторе вектор площади треугольника умножается на ток
Пример запуска разработанной m-функции:
>> nodes=10*rand(3)
nodes =
9.5013 4.8598 4.5647
2.3114 8.913 0.18504
6.0684 7.621 8.2141
>> pm=m_dip_moment(1,nodes)
pm =
13.442 20.637 -2.9692
В данном случае получилось PM = (13.4421x + 20.6371y - 2.96921z) Ам2, если ток в контуре равен 1 А.
1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
Градиентом скалярного поля Φ(Q) = Φ(x, y, z) называется векторное поле, определяемое формулой:
,
где V1 – область, содержащая точку Q; S1 – замкнутая поверхность, ограничивающая область V1, Q1 – точка, принадлежащая поверхности S1; δ – наибольшее расстояние от точки Q до точек на поверхности S1 (max| Q Q1|).
Градиент является количественной мерой изменчивости в пространстве распределения скалярного поля в каждой точке наблюдения.
Дивергенцией векторного поля F(Q)=F(x, y, z) называется скалярное поле, определяемое по формуле:
Дивергенция является количественной мерой расходимости в пространстве распределения векторного поля в каждой точке наблюдения.
Ротором (вихрем) векторного поля F(Q)=F(x, y, z) называется векторное поле, определяемое по формуле:
rot F =
Ротор является количественной мерой закрученности в пространстве распределения векторного поля в каждой точке наблюдения.
Оператор набла – это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:
Представим grad, div и rot через оператор набла:
Запишем эти операторы в декартовых координатах:
; ;
Оператор Лапласа в декартовых координатах определяется формулой:
Дифференциальные операторы второго порядка:
Интегральные теоремы
Теорема о градиенте ;
Теорема о дивергенции
Теорема о роторе
В теории ЭМП применяется также ещё одна из интегральных теорем:
.