5.3. Частные приложения теории гармонического электромагнитного поля Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости

Пусть электромагнитная волна проникает вглубь проводника через его граничную поверхность из окружающего диэлектрика. Тогда по мере проникновения волны в проводник часть ее энергии постепенно рассеивается в виде тепла. Вследствие этого амплитуды всех векторов ЭМП уменьшаются при проникновении вглубь проводника. Этот эффект убывания амплитуд векторов поля от поверхности проводника вглубь по направлению движения волны называется поверхностным эффектом, или скин-эффектом.

При поверхностном эффекте распределение индуцированной плотности тока носит преимущественно поверхностный характер в проводнике. Близость других проводящих тел также влияет на распределение плотности тока в проводнике. Это явление называется эффектом близости.

Плоская волна в однородном проводнике

Рассмотрим электропроводящее полупространство , на которое из диэлектрического полупространства z<0 набегает плоская гармоническая электромагнитная волна (рис. 1).

Рис. 1.

Уравнения ЭМП внутри проводника без учета токов смещения имеют вид:

; (1)

= const; =const

Из (1) следует, что ;(2)

Из (1) можно получить независимые уравнения математической физики отноcительно и.

; ;

Учитывая (2), получаем:

; ,

отсюда

; (3)

Если обозначить , то решение уравнений (3) можно записать в виде:

; ;

; ;

; .

Можно доказать, что

.

Волновое сопротивление проводящей среды имеет индуктивный характер. Величину называют глубиной проникновения ЭМП вглубь проводника. На этой глубине векторыизатухают по амплитуде или по действующему значению вe раз.

Поверхностный эффект в проводящей пластине

Рис. 2.

Пусть внешний источник ЭМП создает в пластине магнитный поток на единицу длины (рис. 2), тогда векторво всех точкахx будет иметь одну составляющую .

Будем считать, что , тогда в соответствии с уравнением (3)

;;

;

Во многих технических приложениях величину называют эффективной абсолютной магнитной проницаемостью пластины или пакета пластин.

–это тангенс угла магнитных потерь энергии в магнитопроводе, изготовленном в виде пакета пластин.

Применяя теорему Умова-Пойнтинга, можно доказать, что средняя объемная плотность мощности потерь энергии на вихревые токи при перемагничивании такого пакета равна

или

В более общем виде:

Это комплексная мощность, потребляемая единицей длины листа (в направлении оси y) шириной h (в направлении оси x), толщиной 2a.

Вычислительный сценарий расчёта поверхностного эффекта в плоской пластине

Ниже приведён текст вычислительного сценария расчёта поверхностного эффекта.

% PLASTINA - Расчёт гармонического электромагнитного полq в плоской проводqщей пластине

%

% Входные данные: mu - проницаемость; f - частота; gam - уд.проводимость;

% a - половина толщины пластины; h - ширина пластины;

% Fm - амплитуда магнитного потока.

if exist('mu','var'), smu=num2str(mu); else smu='100'; end

if exist('f','var'), sf=num2str(f); else sf='50'; end

if exist('gam','var'), sgam=num2str(gam); else sgam='1E7'; end

if exist('a','var'), sa=num2str(a); else sa='5E-4'; end

if exist('h','var'), sh=num2str(h); else sh='5E-2'; end

if exist('Fm','var'), sFm=num2str(Fm); else sFm='5E-6'; end

SS=inputdlg({'mu','f','gam','a','h','Fm'},...

'Ввод исходных данных',1,{smu,sf,sgam,sa,sh,sFm});

%[mu,f,gam,a,h,Fm]=eval(SS);

mu=eval(SS{1}); f=eval(SS{2}); gam=eval(SS{3}); a=eval(SS{4}); h=eval(SS{5}); Fm=eval(SS{6});

disp(['mu=',num2str(mu),'; f=',num2str(f),'; gam=',num2str(gam),'; a=',num2str(a),'; h=',num2str(h),'; Fm=',num2str(Fm)])

mu0=4e-7*pi;

om=2*pi*f;

p=sqrt(j*om*gam*mu0*mu);

muef=mu*tanh(p*a)/p/a % Эффективная комплексная магнитная проницаемость

tandm=-imag(muef)/real(muef) % Эффективный тангенс угла магнитных потерь

Bmsr=Fm/2/a/h % Среднее значение магнитной индукции по сечению пластины

Bmya=Bmsr*p*a/tanh(p*a) % Комплексная магнитная индукция на поверхности

Bmy0=Bmya/cosh(p*a) % То же в середине пластины

b=real(p);

dPv_dy=om*b*abs(Fm)^2/4/mu0/mu/h*(sinh(b*2*a)-sin(b*2*a))/(cosh(b*2*a)-cos(b*2*a))

% Здесь активная мощность тепловых потерь на единицу длины пластины