4.4. Магнитное поле цилиндрической катушки

Напряженность магнитного поля на оси однослойной цилиндрической катушки вычисляется на основании закона Био - Савара

.

Выделим в катушке круговой виток с током I и найдем напряженность поля в точке на оси этого витка и катушки (рис. 4)

Рис. 7.

Для любой точки на оси витка векторы dl и R перпендикулярны, поэтому

.

Аналогичной формулой определяется x-составляющая вектора dH', обусловленный током I в элементе dl'. Нормальные к оси х составляющие этих векторов взаимно компенсируются, а составляющие по оси х складываются. Напряженность H, обусловленная током I в круговом витке

Так как , то

(1)

Определим напряженность магнитного поля в точке на оси однослойной цилиндрической катушки длиной l, имеющей W витков радиуса а (рис. 5).

Рис. 8.

Элемент длины этой катушки является круговым контуром с током

.

В соответствии с формулой (1) определим напряженность магнитного поля, созданную этим круговым контуром с током,

.

Напряженность H, созданная током во всей катушке,

.

Так как , поэтому

, (2)

где

Формулу (2) для расчета напряженности магнитного поля на оси однослойной катушки можно применить и для многослойных катушек, суммируя напряженности H_k в фиксированной точке на оси от каждого слоя с переменным радиусом a_k. В пределе это соответствует интегрированию выражения (2) от внутреннего до наружного радиуса и делению полученного результата на толщину слоя обмотки.

Расчёт распределения напряжённости магнитного поля на оси многослойной цилиндрической катушки в системе matlab

Ниже приведён текст m-функции, вычисляющей это распределение при единичном значении намагничивающей силы обмотки. Операторы, переведённые в комментарии – результат аналитического интегрирования с помощью функций Symbolic Math Toolbox.

% katu_H - Вычисление напрqжённости магнитного полq на оси цилиндрической катушки

% x - перечень координат x;

% l - длина катушки;

% rvn - внутренний радиус катушки;

% rn - наружный радиус катушки.

% Полученный результат нужно умножать на намагничивающую силу

function H=katu_H(x,l,rvn,rn)

% h1=(x+l/2).*(asinh(rn./abs(x+l/2))-asinh(rvn./abs(x+l/2)));

h1=(x+0.5*l).*log((rn+sqrt(rn^2+(x+0.5*l).^2))./(rvn+sqrt(rvn^2+(x+0.5*l).^2)));

% h2=(x-l/2).*(asinh(rn./abs(x-l/2))-asinh(rvn./abs(x-l/2)));

h2=(x-0.5*l).*log((rn+sqrt(rn^2+(x-0.5*l).^2))./(rvn+sqrt(rvn^2+(x-0.5*l).^2)));

H=(h1-h2)/2/l/(rn-rvn);

С помощью этой функции вычислим и построим график распределения напряжённости магнитного поля на оси катушки длиной 0.32 м, с внутренним радиусом 0.03 м и наружным радиусом 0.06 м, если ток равен 2.5 А, число витков равно 3672.

>> H=2.5*3672*katu_h([0:0.001:0.3],0.32,0.03,0.06);

>> plot(0:0.001:0.3,H)

>> grid on

4.5. Скалярная краевая задача анализа магнитостатического поля

M_ф – фиктивная намагниченность среды;

–скалярный магнитный потенциал.

(1)

Уравнение (1) является уравнением магнитостатики относительно скалярного магнитного потенциала. Это уравнение может служить основой для постановки скалярной краевой задачи магнитостатики. Уравнение (1) дополняется следующими граничными условиями:

= поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₁;

B_n = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₂;

Г = Г₁ + Г₂ – замкнутая граничная поверхность.

Уравнение (1) особенно удобно применять, когда источниками магнитного поля в расчетной области являются ненулевые граничные условия и остаточная магнитная индукция постоянных магнитов. В этом случае M_ф = 0. Если внутри расчетной области источники поля отсутствуют, то уравнение (1) приобретает вид

(2)

Если внутри расчетной области однородная по магнитным свойствам среда, то уравнение (2) сводится к уравнению Лапласа

Уравнение (2) можно применять для анализа магнитостатических полей, вызванных электрическими токами, в областях, где эти токи отсутствуют, поскольку там и . В этом случае при анализе может сказываться неоднозначность скалярного магнитного потенциала, связанная с ненулевым значением циркуляции вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего электрический ток. Магнитное напряжение между двумя точками зависит от пути интегрирования напряженности магнитного поля

,

здесь n – целое любое число.

Фиктивная намагниченность среды в уравнении (1) вводится для преодоления проблемы неоднозначности скалярного магнитного потенциала. В частных случаях на каждый замкнутый контур, образуемый каждым током, натягивается тонкая непроницаемая перегородка, на которой поверхностно распределен магнитный диполь и на которой скалярный магнитный потенциал изменяется скачком. Если по контуру протекает ток I, то скачок потенциала на соответствующей перегородке равен

.