Магнитное поле и индуктивность коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель – это трубчатый проводник, у которого два разделенных изоляцией проводящих цилиндра с совпадающими осями являются прямым и обратным проводами. В более сложных случаях прямой и обратный провода могут быть многослойными.

Магнитное поле коаксиального кабеля обладает осевой симметрией и если ось z цилиндрических координат (r, ,z) совместить с осью кабеля, то вектор . Напряженность магнитного поляH(r) в различных областях поперечного сечения кабеля определим, применяя закон полного тока для каждой из областей (рис. 3).

Рис. 6.

,

следовательно

,

где H(r) – напряженность магнитного поля в точке наблюдения с радиальной координатой r,

I(r) – полный ток, протекающий через незамкнутую поверхность, ограниченную контуром интегрирования l. Эта поверхность – круг с центром на оси, принадлежащий поперечному сечению кабеля, в котором область 3 – это слой изоляции, который разделяет прямой двухслойный провод (области 1, 2) и обратный двухслойный провод (области 4, 5).

Величина тока каждого слоя определяется по вектору плотности тока .

Для расчета плотности тока предварительно определяются токи в каждом двухслойном проводнике по заданному току I в кабеле:

(1)

(2)

После расчета токов I₁, I₂, а также токов I₄, I₅ рассчитываются плотности токов в этих областях по формуле; затем рассчитываются напряженности магнитного поляH_k(r) в соответствующих областях:

,

,

,

,

,

Вне кабеля магнитного поля нет (H = 0). Энергия магнитного поля, запасенная на участке кабеля единичной длины, определяется как сумма энергий отдельных областей

,

где (3)

Для коаксиального кабеля можно принять для всех областей , а элемент объема единичной длины для любой области. Тогда энергия магнитного поля в изоляционном слое (область 3)

Эта энергия определяет внешнюю индуктивность L_e кабеля единичной длины

,

т.е.

(4)

В соответствии с формулами (3), (4) можно определить энергии магнитного поля и соответствующие внутренние индуктивности L_i для других областей коаксиального кабеля.

Вычисление магнитного поля коаксиального кабеля в системе MATLAB

Ниже приведён текст вычислительного сценария расчёта магнитного поля коаксиального кабеля с многослойной жилой и многослойной оболочкой. Число и радиусы слоёв могут задаваться произвольно.

% koakss - Расчёт распределениq напрqжённости магнитного полq в коаксиальном кабеле.

% Входные данные:

% rg - массив-строка радиусов слоёв жилы;

% gg - массив-строка удельных проводимостей слоёв жилы;

% ro - массив-строка радиусов слоёв оболочки;

% go - массив-строка удельных проводимостей слоёв оболочки;

% I - ток жилы и оболочки;

% Выходные данные:

% HS - напрqжённость магнитного полq на границах всех слоёв;

% Hr - массив символьных выражений длq H(r) по всем слоqм кабелq

% (число qчеек равно общему числу слоёв кабелq).

% Функциq H(r) отображаетсq в виде графика.

Sg=pi*(rg.^2-[0 rg(1:end-1)].^2); % Площади слоёв жилы

Dg=I*gg/sum(Sg.*gg); % Плотности тока слоёв жилы

Ig=Dg.*Sg; % Токи слоёв жилы

So=pi*(ro(2:end).^2-ro(1:end-1).^2); % Площади слоёв оболочки

Do=I*go/sum(So.*go); % Плотности тока слоёв оболочки

Io=Do.*So; % Токи слоёв оболочки

Is=[Ig 0 -Io];

IS=zeros(1,length(rg)+length(ro)+1);

IS=[0 cumsum(Is)];

DS=[Dg 0 -Do]; % Плотности тока всех слоёв жилы, изолqции, оболочки

% IS - значениq I(r) при r= внутренним радиусам слоёв.

% IS(end) должен быть равен нулю.

rs=[rg ro];

HS=[0 (IS(2:end)./rs)/pi/2]

% Определqем аналитические выражениq длq H(r) по всем слоqм кабелq

syms r real

Hr=vpa(zeros(size(Is)));

Hr(1)=vpa(DS(1)/2)*r;

ezplot(Hr(1),[0 rs(1)])

hold on

H=subs(Hr(1),r,[0 rs(1)/2 rs(1)])

for k=2:length(Is)

Hr(k)=vpa(IS(k)+pi*DS(k)*(r.^2-rs(k-1)^2))/vpa(2*pi)/r;

ezplot(Hr(k),[rs(k-1) rs(k)])

H=subs(Hr(k),r,[rs(k-1) mean([rs(k-1) rs(k)]) rs(k)])

end;

grid on; axis auto

Hr=simple(Hr(:))

disp('Распределение токов по слоям'); disp(num2str(Is,'\t%0.7g'));

disp('Распределение плотности тока по слоям'); disp(num2str(DS,'\t%0.7g'));

disp('Площади слоёв'); disp(num2str([Sg NaN So],'\t%0.7g'));

Пусть жила состоит из пяти слоёв, причём внутренний слой представляет собой полость. Оболочка состоит из трёх слоёв. Радиусы и удельные электрические проводимости слоёв зададим произвольно, причём единицы измерения последних можно брать любые, поскольку в расчётных формулах эти единицы сокращаются. Ток кабеля зададим в амперах, а радиусы слоёв – в миллиметрах.

>> I=5; rg=[0.5 1 2 2.5 3]; ro=[5 5.5 6 6.5];

>> gg=[0 1 0.5 3 0.25]; go=[3 1 2];

>> koakss

HS =

Columns 1 through 7

0 0 0.061608 0.092413 0.29572 0.26526 0.15915

Columns 8 through 10

0.077663 0.048761 -2.1747e-017

H =

0

H =

0 0.034227 0.061608

H =

0.061608 0.075299 0.092413

H =

0.092413 0.19852 0.29572

H =

0.29572 0.27864 0.26526

H =

0.26526 0.19894 0.15915

H =

0.15915 0.1173 0.077663

H =

0.077663 0.062838 0.048761

H =

0.048761 0.023873 0

Hr =

[ 0]

[ .82144486757107270074262587547103e-1*r-.20536121689276817518565646886776e-1/r]

[ .20536121689276817518565646886776e-1/r+.41072243378553635037131293773551e-1*r]

[ -.80090874588179588322406022858424/r+.24643346027132181022278776264130*r]

[ .61094962025598532117732799488156/r+.20536121689276817518565646886776e-1*r]

[ .79577471545947667884441881686257/r]

[ 2.5511601172083222939424015011181/r-.70215416069953824603919307370225e-1*r]

[ 1.1351492264642534977633621358186/r-.23405138689984608201306435790076e-1*r]

[ 1.9777342193036993930103938242613/r-.46810277379969216402612871580150e-1*r]

Распределение токов по слоям

0 0.3870968 0.7741935 3.483871 0.3548387 0 -2.316176 -0.8455882 -1.838235

Распределение плотности тока по слоям

0 0.164289 0.08214449 0.4928669 0.04107224 0 -0.1404308 -0.04681028 -0.09362055

Площади слоёв

0.7853982 2.356194 9.424778 7.068583 8.63938 NaN 16.49336 18.06416 19.63495

>> dLe_dz=2E-7*log(ro(1)/rg(end))

dLe_dz =

1.0217e-007 % Это внешняя индуктивность на единицу длины, Гн/м