- •Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля Abstract
- •Введение
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •1.1. Определение электромагнитного поля. Математический аппарат теории электромагнитного поля
- •1.2. Физические величины, характеризующие эмп
- •В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна: , где e измеряется в в/м.
- •1.3. Источники электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.5. Основные законы теории электромагнитного поля Уравнения эмп в интегральной форме
- •Уравнения Максвелла для неподвижных сред
- •Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды
- •Энергия электромагнитного поля
- •Примеры применения matlab
- •1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп
- •Закон сохранения заряда
- •Граничные условия для плотности тока
- •Теорема Умова-Пойнтинга
- •Пример применения matlab
- •2. Электростатическое поле
- •2.1. Основные уравнения электростатики
- •Граничные условия для векторов электростатического поля
- •Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля
- •Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то
- •Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения matlab
- •Энергия системы заряженных проводников
- •Понятие о методе изображений
- •Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа
- •2.2. Электростатические поля простых геометрических форм Поле электрического диполя
- •В результате получим
- •Окончательно получим
- •Расчёт и визуализация поля электрического диполя в системе matlab
- •Поле бесконечно длинной заряженной оси
- •2.3. Электростатические поля простых двухпроводных линий Поле двух разноименно заряженных осей
- •Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями
- •Поле и емкость системы цилиндр – плоскость
- •Поле и ёмкость двухпроводной линии
- •Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли
- •Систему уравнений (2) можно записать иначе
- •2.4. Распределение зарядов и потенциалов в системе заряженных проводников
- •3.2. Граничные условия для векторов электрического поля постоянного тока
- •3.3. Аналогия между электрическим полем постоянного тока в проводнике и электростатическим полем в диэлектрике
- •3.4. Электрическое поле в диэлектрике вблизи проводника с током
- •3.5. Электрическое поле в несовершенных изолирующих средах
- •3.6. Электрическое моделирование физических полей
- •4. Магнитостатическое поле
- •4.1. Основные законы магнитостатики Уравнения магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах
- •Граничные условия для векторов магнитного поля
- •Векторные уравнения Пуассона и Лапласа
- •Краевая задача магнитостатики для неоднородных сред
- •Магнитное поле элемента тока
- •4.2. Интегральные параметры магнитостатического поля
- •Потокосцепление. Собственная и взаимная индуктивности
- •Вычисление взаимной индуктивности круглых и прямоугольных контуров в системе matlab
- •4.3. Частные случаи плоскопараллельных магнитных полей постоянных токов Распределение векторного потенциала в случае одиночного провода круглого сечения
- •Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •Магнитное поле и индуктивность коаксиального кабеля
- •4.4. Магнитное поле цилиндрической катушки
- •Расчёт распределения напряжённости магнитного поля на оси многослойной цилиндрической катушки в системе matlab
- •4.5. Скалярная краевая задача анализа магнитостатического поля
- •4.6. Магнитное экранирование
- •4.7. Пространственные интегральные уравнения в магнитостатике
- •4.8. Мощность, передаваемая по двухпроводной линии постоянного тока
- •5. Переменное гармоническое электромагнитное поле
- •5.1. Основные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме Гармоническое электромагнитное поле. Основные понятия и определения
- •Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме
- •Используя соотношения (3) и (4), можно доказать, что
- •Теорема о единственности
- •5.2. Уравнения математической физики относительно потенциалов гармонического электромагнитного поля Комплексные параметры электрофизических свойств среды
- •Системы электродинамических потенциалов и уравнения математической физики для гармонического электромагнитного поля
- •Излучатель Герца
- •Элементарный магнитный излучатель
- •5.3. Частные приложения теории гармонического электромагнитного поля Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости
- •Плоская волна в однородном проводнике
- •Поверхностный эффект в проводящей пластине
- •Поверхностный эффект в круглом проводе
- •Заключение
Граничные условия для векторов электростатического поля
На поверхности раздела сред, где илиPr изменяются скачком, справедливы следующие соотношения
На поверхности проводящего тела
Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на любой поверхности раздела сред.
Скачок нормальной составляющей вектора электрического смещения равен поверхностной плотности электрических зарядов.
Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля
Поле вектора E является безвихревым, поэтому его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля
, (3)
–скалярный электрический потенциал.
Подставив соотношение (3) в (2), а затем (2) в (1), получим
или
(4)
Уравнение (4) является уравнением электростатики относительно скалярного электрического потенциала. Это уравнение является основой для постановки краевой задачи анализа электростатического поля.
Для обеспечения единственности решения уравнения (4) необходимо дополнить его граничными условиями для искомого потенциала или для нормальной составляющей вектора электрического смещения на поверхности, ограничивающей расчетную область, т.е.
= поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г1,
Dn = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г2,
Г = Г1 + Г2 – замкнутая граничная поверхность.
Первое граничное условие называется граничным условием первого рода (иногда его называют граничным условием Дирихле). Второе граничное условие называется граничным условием второго рода (иногда его называют граничным условием Неймана).
Если задавать только граничные условия Неймана, то единственность решения будет обеспечена только с точностью до постоянной (однородной) составляющей скалярного поля .
В случае однородного распределения диэлектрической проницаемости среды и вектора остаточной поляризованности среды уравнение (4) может быть записано в виде
или (5)
Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то
или (6)
(5) называется уравнением Пуассона, (6) называется уравнением Лапласа. Для уравнений (5) и (6) граничное условие Неймана может задаваться в виде распределения нормальной производной скалярного электрического потенциала на части граничной поверхности Г2.
Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения matlab
В системе MATLAB имеются пакеты расширения, предназначенные для решения скалярных краевых задач, основанных на уравнениях вида (4). В практике инженерных расчётов чаще всего решаются двумерные и трёхмерные задачи электростатики. При двумерном моделировании можно рассчитывать плоскопараллельные и осесимметричные поля (поля многопроводных систем: кабельных и воздушных линий и коридоров линий). Двумерный вариант уравнения (4) без учёта векторного поля остаточной поляризованности вещества может решаться средствами PDE Toolbox MATLAB (продукт фирмы MathWorks).
Электростатические задачи могут решаться также в системе конечноэлементных расчётов FEMLAB, которая также представляет собой пакет расширения MATLAB, но не входит в стандартную комплектацию MATLAB и поставляется отдельно. Разработчик этого пакета – шведская фирма Comsol.
Применительно к задачам электростатики FEMLAB отличается от PDE Toolbox тем, что в FEMLAB есть возможность учесть распределение вектора остаточной поляризованности вещества, есть также возможность решать трёхмерные задачи. В системе FEMLAB есть средства расчёта интегральных параметров поля: зарядов, напряжений, энергии поля, ёмкостных коэффициентов и др.