- •Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля Abstract
- •Введение
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •1.1. Определение электромагнитного поля. Математический аппарат теории электромагнитного поля
- •1.2. Физические величины, характеризующие эмп
- •В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна: , где e измеряется в в/м.
- •1.3. Источники электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.5. Основные законы теории электромагнитного поля Уравнения эмп в интегральной форме
- •Уравнения Максвелла для неподвижных сред
- •Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды
- •Энергия электромагнитного поля
- •Примеры применения matlab
- •1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп
- •Закон сохранения заряда
- •Граничные условия для плотности тока
- •Теорема Умова-Пойнтинга
- •Пример применения matlab
- •2. Электростатическое поле
- •2.1. Основные уравнения электростатики
- •Граничные условия для векторов электростатического поля
- •Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля
- •Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то
- •Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения matlab
- •Энергия системы заряженных проводников
- •Понятие о методе изображений
- •Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа
- •2.2. Электростатические поля простых геометрических форм Поле электрического диполя
- •В результате получим
- •Окончательно получим
- •Расчёт и визуализация поля электрического диполя в системе matlab
- •Поле бесконечно длинной заряженной оси
- •2.3. Электростатические поля простых двухпроводных линий Поле двух разноименно заряженных осей
- •Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями
- •Поле и емкость системы цилиндр – плоскость
- •Поле и ёмкость двухпроводной линии
- •Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли
- •Систему уравнений (2) можно записать иначе
- •2.4. Распределение зарядов и потенциалов в системе заряженных проводников
- •3.2. Граничные условия для векторов электрического поля постоянного тока
- •3.3. Аналогия между электрическим полем постоянного тока в проводнике и электростатическим полем в диэлектрике
- •3.4. Электрическое поле в диэлектрике вблизи проводника с током
- •3.5. Электрическое поле в несовершенных изолирующих средах
- •3.6. Электрическое моделирование физических полей
- •4. Магнитостатическое поле
- •4.1. Основные законы магнитостатики Уравнения магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах
- •Граничные условия для векторов магнитного поля
- •Векторные уравнения Пуассона и Лапласа
- •Краевая задача магнитостатики для неоднородных сред
- •Магнитное поле элемента тока
- •4.2. Интегральные параметры магнитостатического поля
- •Потокосцепление. Собственная и взаимная индуктивности
- •Вычисление взаимной индуктивности круглых и прямоугольных контуров в системе matlab
- •4.3. Частные случаи плоскопараллельных магнитных полей постоянных токов Распределение векторного потенциала в случае одиночного провода круглого сечения
- •Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •Магнитное поле и индуктивность коаксиального кабеля
- •4.4. Магнитное поле цилиндрической катушки
- •Расчёт распределения напряжённости магнитного поля на оси многослойной цилиндрической катушки в системе matlab
- •4.5. Скалярная краевая задача анализа магнитостатического поля
- •4.6. Магнитное экранирование
- •4.7. Пространственные интегральные уравнения в магнитостатике
- •4.8. Мощность, передаваемая по двухпроводной линии постоянного тока
- •5. Переменное гармоническое электромагнитное поле
- •5.1. Основные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме Гармоническое электромагнитное поле. Основные понятия и определения
- •Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме
- •Используя соотношения (3) и (4), можно доказать, что
- •Теорема о единственности
- •5.2. Уравнения математической физики относительно потенциалов гармонического электромагнитного поля Комплексные параметры электрофизических свойств среды
- •Системы электродинамических потенциалов и уравнения математической физики для гармонического электромагнитного поля
- •Излучатель Герца
- •Элементарный магнитный излучатель
- •5.3. Частные приложения теории гармонического электромагнитного поля Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости
- •Плоская волна в однородном проводнике
- •Поверхностный эффект в проводящей пластине
- •Поверхностный эффект в круглом проводе
- •Заключение
Энергия электромагнитного поля
Объемная плотность энергии электрического поля равна
,
где Wэ измеряется в Дж/м3.
Объемная плотность энергии магнитного поля равна
,
где Wм измеряется в Дж/м3.
Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна
.
В случае линейных электрических и магнитных свойств вещества объемная плотность энергии ЭМП равна
.
Это выражение справедливо для мгновенных значений удельной энергии и векторов ЭМП.
Удельная мощность тепловых потерь от токов проводимости
Удельная мощность сторонних источников
Примеры применения matlab
Задача 1.
Дано: Внутри объёма тетраэдра магнитная индукция и намагниченность вещества изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы, значения векторов магнитной индукции и намагниченности вещества в вершинах также заданы.
Вычислить плотность электрического тока в объёме тетраэдра, используя m-функцию, составленную при решении задачи в предыдущем параграфе. Вычисление выполнить в командном окне MATLAB, предполагая, что пространственные координаты измеряются в миллиметрах, магнитная индукция – в теслах, напряжённость магнитного поля и намагниченность – в кА/м.
Решение.
Зададим исходные данные в формате, совместимом с m-функцией grad_div_rot:
>> nodes=5*rand(4,3)
nodes =
0.94827 2.7084 4.3001
0.96716 0.75436 4.2683
3.4111 3.4895 2.9678
1.5138 1.8919 2.4828
>> B=rand(4,3)*2.6-1.3
B =
1.0394 0.41659 0.088605
0.83624 -0.41088 0.59049
0.37677 -0.54671 -0.49585
0.82673 -0.4129 0.88009
>> mu0=4e-4*pi % абcолютнаq магнитнаq проницаемоcть вакуума, мкГн/мм
mu0 =
0.0012566
>> M=rand(4,3)*1800-900
M =
122.53 -99.216 822.32
-233.26 350.22 40.663
364.93 218.36 684.26
83.828 530.68 -588.68
>> [grad,div,cur_dens]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B/mu0-M)
grad =
0 -3.0358e-017 0
div =
-712.01
cur_dens =
-914.2 527.76 -340.67
В данном примере вектор полной плотности тока в рассматриваемом объёме получился равным (-914.21x + 527.761y – 340.671z) А/мм2. Чтобы определить модуль плотности тока, выполним следующий оператор:
>> cur_d=sqrt(cur_dens*cur_dens.')
cur_d =
1109.2
Вычисленное значение плотности тока не может быть получено в сильно намагниченных средах в реальных технических устройствах. Данный пример – чисто учебный. А теперь проверим корректность задания распределения магнитной индукции в объёме тетраэдра. Для этого выполним следующий оператор:
>> [grad,div,cur_dens]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B)
grad =
0 -3.0358e-017 0
div =
-0.34415
cur_dens =
-0.38115 0.37114 -0.55567
Здесь мы получили значение div B = -0.34415 Тл/мм, чего не может быть в соответствии с законом непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме. Из этого следует, что распределение магнитной индукции в объёме тетраэдра задано некорректно.
Задача 2.
Пусть тетраэдр, координаты вершин которого заданы, находится в воздухе (единицы измерения – метры). Пусть заданы значения вектора напряжённости электрического поля в его вершинах (единицы измерения – кВ/м).
Требуется вычислить объёмную плотность электрического заряда внутри тетраэдра.
Решение можно выполнить аналогично:
>> nodes=3*rand(4,3)
nodes =
2.9392 2.2119 0.59741
0.81434 0.40956 0.89617
0.75699 0.03527 1.9843
2.6272 2.6817 0.85323
>> eps0=8.854e-3 % абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, нФ/м
eps0 =
0.008854
>> E=20*rand(4,3)
E =
9.3845 8.4699 4.519
1.2956 10.31 11.596
19.767 6.679 15.207
11.656 8.6581 10.596
>> [grad,dens_z,rot]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),E*eps0)
grad =
2.2204e-016 0 0
dens_z =
0.10685
rot =
0.076467 0.21709 -0.015323
В данном примере объёмная плотность заряда получилась равной 0.10685 мкКл/м3.