- •Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля Abstract
- •Введение
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •1.1. Определение электромагнитного поля. Математический аппарат теории электромагнитного поля
- •1.2. Физические величины, характеризующие эмп
- •В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна: , где e измеряется в в/м.
- •1.3. Источники электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
- •Пример применения matlab
- •1.5. Основные законы теории электромагнитного поля Уравнения эмп в интегральной форме
- •Уравнения Максвелла для неподвижных сред
- •Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды
- •Энергия электромагнитного поля
- •Примеры применения matlab
- •1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп
- •Закон сохранения заряда
- •Граничные условия для плотности тока
- •Теорема Умова-Пойнтинга
- •Пример применения matlab
- •2. Электростатическое поле
- •2.1. Основные уравнения электростатики
- •Граничные условия для векторов электростатического поля
- •Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля
- •Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то
- •Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения matlab
- •Энергия системы заряженных проводников
- •Понятие о методе изображений
- •Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа
- •2.2. Электростатические поля простых геометрических форм Поле электрического диполя
- •В результате получим
- •Окончательно получим
- •Расчёт и визуализация поля электрического диполя в системе matlab
- •Поле бесконечно длинной заряженной оси
- •2.3. Электростатические поля простых двухпроводных линий Поле двух разноименно заряженных осей
- •Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями
- •Поле и емкость системы цилиндр – плоскость
- •Поле и ёмкость двухпроводной линии
- •Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли
- •Систему уравнений (2) можно записать иначе
- •2.4. Распределение зарядов и потенциалов в системе заряженных проводников
- •3.2. Граничные условия для векторов электрического поля постоянного тока
- •3.3. Аналогия между электрическим полем постоянного тока в проводнике и электростатическим полем в диэлектрике
- •3.4. Электрическое поле в диэлектрике вблизи проводника с током
- •3.5. Электрическое поле в несовершенных изолирующих средах
- •3.6. Электрическое моделирование физических полей
- •4. Магнитостатическое поле
- •4.1. Основные законы магнитостатики Уравнения магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах
- •Граничные условия для векторов магнитного поля
- •Векторные уравнения Пуассона и Лапласа
- •Краевая задача магнитостатики для неоднородных сред
- •Магнитное поле элемента тока
- •4.2. Интегральные параметры магнитостатического поля
- •Потокосцепление. Собственная и взаимная индуктивности
- •Вычисление взаимной индуктивности круглых и прямоугольных контуров в системе matlab
- •4.3. Частные случаи плоскопараллельных магнитных полей постоянных токов Распределение векторного потенциала в случае одиночного провода круглого сечения
- •Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •Магнитное поле и индуктивность коаксиального кабеля
- •4.4. Магнитное поле цилиндрической катушки
- •Расчёт распределения напряжённости магнитного поля на оси многослойной цилиндрической катушки в системе matlab
- •4.5. Скалярная краевая задача анализа магнитостатического поля
- •4.6. Магнитное экранирование
- •4.7. Пространственные интегральные уравнения в магнитостатике
- •4.8. Мощность, передаваемая по двухпроводной линии постоянного тока
- •5. Переменное гармоническое электромагнитное поле
- •5.1. Основные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме Гармоническое электромагнитное поле. Основные понятия и определения
- •Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме
- •Используя соотношения (3) и (4), можно доказать, что
- •Теорема о единственности
- •5.2. Уравнения математической физики относительно потенциалов гармонического электромагнитного поля Комплексные параметры электрофизических свойств среды
- •Системы электродинамических потенциалов и уравнения математической физики для гармонического электромагнитного поля
- •Излучатель Герца
- •Элементарный магнитный излучатель
- •5.3. Частные приложения теории гармонического электромагнитного поля Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости
- •Плоская волна в однородном проводнике
- •Поверхностный эффект в проводящей пластине
- •Поверхностный эффект в круглом проводе
- •Заключение
Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями
Случай 1. «Коаксиальный» кабель со смещенной жилой.
Рис. 4.
Дано: R1 – радиус жилы; R2 – радиус оболочки; d – смещение осей жилы и оболочки; – напряжение между жилой и оболочкой (рис.4). Определить: емкость кабеля на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями.
из пояснений к уравнению (1) следует, что
(s – a)(s + a) = R2
(s + a)/R = R/(s – a) = k, если k > 1 (2)
Значит
s2, s1, a вычисляются из решения системы уравнений
; т. е.
;
Алгоритм вычислений: сначала рассчитываются s2, s1, a, затем C0, потом .
Если нужно определить параметры эквипотенциали , то вычисляются величиныki, si, Ri, по формулам, дополняющим уравнение (1).
Пример расчёта электростатического поля и ёмкости «коаксиального» кабеля со смещённой жилой в ядре MATLAB и в PDE Toolbox дан на сайте по адресу http://www.matlab.ru/pde/book5/index.asp.
Здесь приведём тексты вычислительных сценариев расчёта электростатического поля коаксиального кабеля без и со смещением жилы.
% vannak - Расчёт электростатического полq в коаксиальном кабеле
%
% Входные данные: epsilon - проницаемость;
% rob - радиус оболочки; rz - радиус жилы;
% U - напрqжение; nf - число шагов по потенциалу.
%
% Выходные данные: c0 - ёмкость на единицу длины;
% rk - радиусы эквипотенциалей.
%
% В обычной фигуре строитсq картина эквипотенциалей
%
eps0=8.85419e-3; % Абсолютнаq диэлектрическаq проницаемость вакуума, пФ/мм
if exist('epsilon','var'), sepsilon=num2str(epsilon); else sepsilon='1'; end
if exist('rob','var'), srob=num2str(rob); else srob='250'; end
if exist('rz','var'), srz=num2str(rz); else srz='20'; end
if exist('U','var'), sU=num2str(U); else sU='10'; end
if exist('nf','var'), snf=num2str(nf); else snf='10'; end
SS=inputdlg({'epsilon','rob (миллиметры)','rz (миллиметры)','U (вольты)','nf шагов по потенциалу'},...
'Ввод исходных данных',1,{sepsilon,srob,srz,sU,snf});
epsilon=eval(SS{1}); rob=eval(SS{2}); rz=eval(SS{3}); U=eval(SS{4}); nf=eval(SS{5});
disp(['epsilon=',num2str(epsilon),'; rob=',num2str(rob),'; rz=',num2str(rz),'; U=',num2str(U),'; nf=',num2str(nf)])
c0=2*pi*eps0*epsilon/log(rob/rz)
fk=linspace(0,U,nf+1);
rk=rob*(rob/rz).^(-fk/U)
t=0:0.004*pi:2*pi;
for k=1:nf+1
plot(rk(k)*cos(t),rk(k)*sin(t),'k-')
hold on
end
grid on
% vannaks - Расчёт электростатического полq в "коаксиальном" кабеле со смещённой жилой
%
% Входные данные: epsilon - проницаемость;
% rob - радиус оболочки; rz - радиус жилы;
% d - смещение оси жилы относительно оси оболочки;
% U - напрqжение;
% nf - число шагов по потенциалу.
%
% Выходные данные: c0 - ёмкость на единицу длины;
% rk - радиусы эквипотенциалей.
%
% В обычной фигуре строитсq картина эквипотенциалей
%
eps0=8.85419e-3; % Абсолютнаq диэлектрическаq проницаемость вакуума, пФ/мм
if exist('epsilon','var'), sepsilon=num2str(epsilon); else sepsilon='1'; end
if exist('rob','var'), srob=num2str(rob); else srob='250'; end
if exist('rz','var'), srz=num2str(rz); else srz='20'; end
if exist('d','var'), sd=num2str(d); else sd='40'; end
if exist('U','var'), sU=num2str(U); else sU='10'; end
if exist('nf','var'), snf=num2str(nf); else snf='10'; end
SS=inputdlg({'epsilon','rob (миллиметры)','rz (миллиметры)','d (миллиметры)','U (вольты)','nf шагов по потенциалу'},...
'Ввод исходных данных',1,{sepsilon,srob,srz,sd,sU,snf});
epsilon=eval(SS{1}); rob=eval(SS{2}); rz=eval(SS{3}); d=eval(SS{4}); U=eval(SS{5}); nf=eval(SS{6});
disp(['epsilon=',num2str(epsilon),'; rob=',num2str(rob),'; rz=',num2str(rz),'; d=',num2str(d),'; U=',num2str(U),'; nf=',num2str(nf)])
s1=(rob^2-rz^2-d^2)/2/d;
s2=(rob^2-rz^2+d^2)/2/d;
a=sqrt(s1^2-rz^2);
c0=2*pi*eps0*epsilon/log((s2-a)*(s1+a)/rob/rz)
tau=c0*U;
fz=tau*log((s1+a)/rz)/(2*pi*eps0*epsilon);
fob=tau*log(rob/(s2-a))/(2*pi*eps0*epsilon);
fk=linspace(0,U,nf+1);
hi=((s2-a)*(s1+a)/rob/rz).^((fob+fk)/U);
x=s2-a*(hi.^2+1)./(hi.^2-1)
rk=2*a*abs(hi./(1-hi.^2))
t=0:0.004*pi:2*pi;
for k=1:nf+1
plot(rk(k)*cos(t)+x(k),rk(k)*sin(t),'k-')
hold on
end
grid on
Случай 2. Двухпроводная линия с проводами разного радиуса.
Рис. 5.
Дано: R1 – радиус положительно заряженного провода; R2 – радиус отрицательно заряженного провода; – напряжение между проводами;d – смещение осей цилиндрических проводов (рис. 5).
Определить: емкость линии на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями . Так же как и в предыдущем случае
Для s1, а, R1, k1 справедливо соотношение (2), поскольку k> 1. Если k<1, то вместо (2) имеем
(s + a)/R = R/(s – a) = – k,
В это соотношение подставим s = – s2, R = R2, k = k2,
(s2 – a)/ R2 = R2/(s2 + a) = k2,
Значит,
s2, s1, a вычисляются из решения системы уравнений
; т. е.
;
Алгоритм вычислений тот же, что и в предыдущем случае.
В рассмотренных двух случаях результирующую напряженность электрического поля можно определить по формуле
.
Значения емкости на единицу длины C0, полученные при решении этих задач, могут быть использованы при анализе работы линии при переменных токах и напряжениях.
Известно, что при наличии переменного магнитного поля электрическое напряжение между двумя точками зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Однако в длинных линиях переменного тока линии магнитной индукции практически лежат в плоскостях поперечного сечения; контур, лежащий в этой плоскости, не пронизывается переменным магнитным потоком, поэтому циркуляция вектора E вдоль такого контура равна нулю, т.е. электрическое поле имеет потенциальный характер. Это и дает возможность говорить об однозначном мгновенном значении напряжения между точками двух проводников, лежащими в одной и той же плоскости поперечного сечения, и постоянстве отношения мгновенных значений , справедливом для любого поперечного сечения.