Учебник 2

(рис. 2.10). Через середины хорд проводят перпендикуляры (см. построение на рис. 2.1), пересечение которых и определит положение центра исходной окружности.

Разделим окружность на три, шесть и двенадцать частей (рис. 2.11). В окружности заданного радиуса R проведем через центр О взаимно перпендикулярные оси АВ и CD. Из любой точки конца диаметра (например, А) проведем дугу радиусом R до пересечения с окружностью в точках 1 и 2. Отрезок 1–2 – это искомая сторона правильного вписанного треугольника 1В2. В свою очередь отрезки А1 = А2 и С1 = D2 равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двенадцатиугольника соответственно. Для построения недостающих точек (вершин углов) достаточно провести из точки В противоположного конца диаметра окружности дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью или последовательно отложить измерителем соответствующие отрезки на основной окружности.

Чтобы разделить окружность на четыре и восемь частей, необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис. 2.12). Отрезки АС = СВ = BD, соединяющие концы диаметров, являются искомыми сторонами правильного четырехугольника, вписанного в окружность.

Для деления окружности на восемь частей из центра О строят перпендикуляр к одной из сторон (например, АС) и продолжают его до пересечения с окружностью в точке М. Отрезок АМ – это искомая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.

Для деления окружности на пять и десять частей проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD и делят радиус ОВ пополам в точке М (рис. 2.13). Из точки М, как из центра, проводят дугу радиусом МC до пересечения ее с диаметром АВ в точке K. Отрезок СK равен стороне правильного вписанного пятиугольника, отрезок ОK – десятиугольника. Для деления окружности на пять

Рис. 2.15

Перед размерным числом конусности ставится знак конусности – равнобедренный треугольник, вершина которого направлена в сторону вершины конуса.

Значения конусности и углы конусов, рекомендованные ГОСТ 8583–81, приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Нормальные конусности и углы конусов по ГОСТ 8593–81 ( СТ СЭВ 512–77)

2.4. Сопряжения

Сопряжением принято называть плавный переход одной линии в

другую, прямой линии в дугу или одной дуги в другую. Общая для этих линий точка называется точкой сопряжения, или точкой перехода.

Плавный переход прямой линии в дугу обеспечивается лишь тогда, когда прямая является касательной к дуге, т. е. когда точка сопряжения лежит на перпендикуляре, опущенном на прямую из центра окружности, которой принадлежит дуга (рис. 2.16, а). Если это условие

не выполняется, то переход будет не плавным, а с изгибом (рис. 2.16, б,

в).

Плавный переход одной окружности в другую достигается тогда, когда окружности имеют общую касательную t в точке сопряжения А, лежащей на прямой, соединяющей центры окружностей, которым принадлежат дуги (рис. 2.17). Касание называется внешним,

если центры О и О1 лежат по разные стороны от касательной t (рис. 2.17, а), и внутренним, если центры находятся по одну сторону от

общей касательной (рис. 2.17, б).

Рис. 2.16

Рис. 2.17

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, а при внутреннем – разности их радиусов.

В общем случае построение сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения состоит из следующих этапов:

–построения множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий;

–построения множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий;

–определения на пересечения множеств точек центра дуги сопряжения;

–определения точки сопряжения на первой из сопрягаемых линий;

–определения точки сопряжения на второй из сопрягаемых линий;

–проведения дуги сопряжения на интервале между точками сопряжения.

Далее рассмотрим сопряжение двух прямых линий дугой окружности, сопряжение прямой с окружностью, сопряжение двух заданных окружностей, а также построение овалов.

2.4.1. Сопряжение двух прямых линий дугой окружности

Для сопряжения сторон a и b прямого угла дугой радиуса R из вершины прямого угла, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R до пересечения со сторонами a и b

прямого угла в точках А и В (рис. 2.18). Из этих точек, как из центров, тем же радиусом проводят дуги окружностей до их взаимного пересечения в точке О. Затем из этой точки О радиусом R проводят дугу сопряжения между точками А и В сопряжения.

Чтобы построить сопряжение сторон a и b острого угла дугой радиуса R, сначала

определяют центр дуги сопряжения, для чего на расстоянии R от сторон

a и b острого угла проводят прямые, параллельные этим сторонам, до их пересечения в точке О (рис. 2.19). Из центра О опускают перпендикуляры на заданные прямые, получают точки А и В сопряжения. Из точки О, как из центра, проводят дугу сопряжения радиусом R. Такое сопряжение часто применяют в различных деталях.

Еще один возможный случай сопряжения – это сопряжение двух параллельных прямых a и b, если задана точка А, через которую должна пройти дуга сопряжения (рис. 2.26). Для получения центра О дуги сопряжения проводят прямую, параллельную заданным прямым, посередине между этими прямыми. На пересечении полученной прямой с дугой, проведенной из заданной точки А, как из центра, радиусом, равным h/2, находят центр О дуги сопряжения. Через эту точку проводят перпендикуляр к прямым a и b и получают точки В и С сопряжения. Радиусом R = h / 2 проводят дугу сопряжения.

2.4.2. Сопряжение прямой с окружностью

Возможны три случая построения сопряжений прямой с окружностью: когда задан радиус дуги сопряжения; задана точка сопряжения на прямой; задана точка сопряжения на окружности.

Вкаждом из трех случаев сопряжение может быть внешним или внутренним.

Впервом случае прямая а сопрягается с окружностью радиу-

са R1 при заданном радиусе дуги сопряжения R (рис. 2.7, a, б). Из центра О1 (рис. 2.27, а) проводят вспомогательную дугу радиусом R1

+R до пересечения с прямой линией, проведенной параллельно прямой а на расстоянии R от нее и получают точку О – центр дуги сопряжения. Соединяя центры О1 и О прямой, в пересечении ее с заданной окружностью находят точку А сопряжения. Опустив перпендикуляр из точки О на прямую а, получают точку В сопряжения. Из точки О проводят дугу сопряжения радиусом R. В

рассматриваемом случае имеет место внешнее сопряжение, так как

ОО1 = R1 + R.

Рис. 2.27

Для построения внутреннего сопряжения, когда ОО1 = R1 – R, проводят вспомогательную дугу из центра О1 окружности радиусом R1 – R до пересечения ее с прямой, проведенной параллельно прямой а на расстоянии R от нее (рис. 2.27, б). Полученную точку О – центр дуги сопряжения – соединяют прямой с центром О1 заданной окружности. В пересечении этой прямой с окружностью получают точку А сопряжения. Опустив перпендикуляр из центра дуги сопряжения О на прямую а, находят точку В сопряжения. Из точки О проводят дугу сопряжения радиусом R.

Второй случай – сопряжение прямой а с окружностью радиуса R1, если на прямой а задана точка А сопряжения (рис. 2.28). Из точки А (рис. 2.28, а) восставляют перпендикуляр к прямой а. На этом перпендикуляре будет находиться центр дуги сопряжения – точка О. На перпендикуляре откладывают отрезок АС = R1 и соединяют центр О1 заданной окружности с точкой С. Из середины отрезка СО1 восставливают перпендикуляр до пересечения с продолжением перпендикуляра СА в точке О – центре дуги сопряжения. Точки О и О1 соединяют прямой и в пересечении ее с заданной окружностью получают точку В сопряжения. Из этой точки проводят дугу сопряжения радиусом

R = ОB.

Построение внутреннего сопряжения (рис. 2.28, б), когда ОО1 = = R1 – R, аналогично описанному выше построению внешнего сопряжения.

Рис. 2.28