метод. НГ краткий курс. 2010

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом КГАСУ

Автор: З.О. Галлямова УДК 74/744 ББК 30.11

Учебное пособие разработано на основе рабочей программы кафедры НГиГ КГАСУ и является дополнением к учебникам по курсу начертательной геометрии. В пособии излагаются теоретические основы методов изображения геометрических тел: ортогональные проекции, проекции с числовыми отметками. Каждый раздел сопровождается иллюстрациями и примерами решения типовых задач, которые наглядно демонстрируют применение основных приемов и способов решения задач по начертательной геометрии. В пособие включены вопросы для самопроверки проработанного материала.

Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 270106 «Производство строительных материалов, изделий и конструкций», 280202 «Инженерная защита окружающей среды», 270205 «Автомобильные дороги и аэродромы».

Казанский государственный архитектурно - строительный университет. Составитель: З.О. Галлямова, Казань: КГАСУ, 2010.

– 105 с.

Рецензенты:

к.т.н., доцент каф. НГ и Г В. П. Рудницкий д.п.н., проф. КГЭУ, зав. каф. ИГ В.А. Рукавишников

2

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия является наукой о графических изображениях.

Всякий процесс труда человека заканчивается результатом, который уже в начале этого процесса имелся в его представлении: паук совершает операции, напоминающие операции ткача, и пчела постройкой своих восковых ячеек посрамляет некоторых людей - архитекторов. Но самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове.

Различные инженерные сооружения и их отдельные конструкции, архитектурные объекты, всевозможные машины и их детали выполняются по чертежам. Чертеж дает возможность определить пространственную форму изображенного предмета, взаимное расположение отдельных его деталей и выявить их истинные размеры.

Однако не всякое изображение может быть использовано для решения технических задач. Для этого оно, в первую очередь, должно быть геометрически равноценно изображаемому объекту, то есть, построено по определенному геометрическому закону. Вопросами исследования геометрических основ построения изображений предметов на плоскости, вопросами решения пространственных геометрических задач при помощи изображений занимается одна из ветвей геометрии – начертательная геометрия.

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того, чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.

Изображение фигуры на плоскости как графический способ представления информации о ней имеет преимущества в сравнении с другими способами:

Изображения на чертежах выполняются по правилам начертательной геометрии, поэтому изучение ее имеет большое значение в подготовке и творческом развитии будущего высококвалифицированного специалиста.

3

Помимо изучения методов изображения, начертательная геометрия рассматривает также приемы решения графическими способами различного рода задач, встречающихся в практике проектирования и конструирования, связанных как с измерением, так и с определением взаимного расположения отдельных элементов проектируемого объекта.

Впервые проекционные методы и приемы были научно обобщены и последовательно изложены французским геометром, военным инженером Гаспаром Монжем (1746-1818), опубликовавшим в 1799г. свой первый научный труд по начертательной геометрии. С этого времени начертательная геометрия получила научное обоснование, а ее выводы нашли широкое применение в технике и привели к тому, что чертеж стал «международным языком» инженеров.

Итак, начертательная геометрия – это наука о способах изображения трехмерных форм на плоскости.

Задачи начертательной геометрии:

1)изображение пространственных форм на плоскости;

2)обратная задача: воссоздание по чертежу трехмерной модели;

3)способы решения конструктивных, позиционных и метрических задач.

Требования, предъявляемые к чертежу:

1.Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

2.Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

3.Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4.Простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Приступая к изучению курса “Начертательная геометрия”, студенты должны помнить, что в предлагаемом учебном пособии изложены только основные теоретические положения. Поэтому для более детального изучения прорабатываемого материала необходима систематическая работа с рекомендуемой литературой.

4

Принятые обозначения и символика

1.Точки - прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D… или цифрами 1, 2, 3, 4…

2.Прямые и кривые линии– строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,d….

3.Поверхности (плоскости – простейшая поверхность) – прописными буквами греческого алфавита: Σ, Г, Φ, Λ, Ψ…

4.Углы - строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ…..

5.Линии уровня: горизонталь – h, фронталь – f

6.Основные операции:

∩- пересечение или сечение;

- объединение, союз; ≡ - тождество, совпадение;

( ) - принадлежность (непринадлежность);- перпендикулярность; || - параллельность;- результат действия; − - касание;

- перекрещивание, скрещивание.

5

Раздел 1

В основе всех способов построения изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при составлении чертежей, лежит операция проецирования (проекция – от лат. projectio - бросание вперед).

1.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1.1.Сущность операции проецирования

Метод проецирования заключается в том, что любая точка пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Ортогональное проецирование - это такой метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций.

Итак, чтобы получить проекцию какой-либо точки А на плоскость проекций (ее также называют картинной плоскостью) П0 (рис. 1), необходимо через заданную точку из центра проекций S провести

1.2.Виды проецирования

Взависимости от положения центра проекций S относительно плоскости проекций П0, проецирование делится на 2 вида:

1.Центральное проецирование

Вметоде центрального проецирования все проецирующие лучи проходят через общую точку S. На рис.2 представлена кривая ℓ точками А, В, С и ее центральная проекция ℓ1 (А1, В1, С1) на

6

плоскость П1. Пучок лучей, выходящий из центра S при пересечении с плоскостью проекций П1, образует коническую поверхность Σ.

Σ ∩ П1

Σ ℓ. ℓ1 (А1, В1, С1 ) – центральная проекция линии ℓ.

S – конечная точка (собственная).

А, В, С – произвольные точки, принадлежащие линии ℓ

Рис.2

2. Параллельное проецирование

Рис.3

Если центр проекций S – бесконечно удаленная точка, то все проецирующие лучи параллельны между собой. Для проведения этих лучей задается направление проецирования S∞.

На рис. 3 показано построение параллельной проекции кривой ℓ1 (А1,В1,С1) на плоскость П1. Параллельные лучи образуют цилиндрическую поверхность Σ.

В свою очередь, параллельное проецирование делится на 2 вида, которые зависят от угла наклона проецирующих лучей к плоскости проекций:

а) прямоугольное или ортогональное проецирование

Рис.4

7

Каждый из лучей лежит относительно плоскости П1 под углом 900 (рис. 4).

б) косоугольное проецирование

Рис. 5 φ - угол наклона проецирующего луча к плоскости проекций П1

При косоугольном проецировании проецирующие лучи составляют

сплоскостью проекций угол, не равный 90° .

1.3.Общие свойства проецирования

1.Проекцией точки является точка.

2.Проекцией прямой линии – прямая (частный случай: проекция прямой – точка, если прямая проходит через центр проекций).

3.Если точка в пространстве инцидентна (принадлежит) линии,

то проекция этой точки принадлежит проекции данной линии. Для параллельного проецирования характерны еще два свойства:

Проекции параллельных прямых, также параллельны.

Отношение длин параллельных отрезков равны отношению длин их проекций:

|АВ| _ |А1В1|

|СD| ¯ |С1D1|

Каждый из рассматриваемых способов проецирования имеет свои преимущества и недостатки. В зависимости от того, для какой цели выполняется чертеж, используется тот или иной способ.

Для выполнения чертежа, по которому изготовляется изображаемый предмет, используется ортогональное проецирование.

Косоугольное, параллельное проецирование используется, в основном, для получения аксонометрических изображений, центральное – для построения перспективных изображений.

В изучаемом курсе основное внимание будет уделено ортогональному проецированию.

8

1.4. Ортогональные проекции (прямоугольные проекции или метод Монжа)

Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция точки А (рис. 6) не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций П1. Любая точка проецирующего луча S, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А1, т.е. А1 ≡ В1 ≡ С1 ≡ D1.

Рис.6

Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал геометрического образа. Решение этой задачи является основной в технической практике. Так, на производстве изделие изготавливают по его проекционным чертежам, которые должны полностью определять размеры и формы этого изделия. Чертеж должен быть “обратимым”, т.е. вполне определяющим проецируемые геометрические образы (объекты).

Для исключения неопределенности изображения, аппарат

точки А (А1 и А2). Таким образом, полученная пара точек А1 и А2 является моделью точки А в пространстве (или изображением). Расстояние АА1 - высота точки А, АА2 - глубина точки А.

В этом случае чертеж является обратимым, и можно определить положение точки А в пространстве.

Итак, сущность метода ортогонального проецирования

заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям.

9

Х12 – линия пересечения плоскостей П1 – горизонтальная плоскость

проекций.

П2 – фронтальная плоскость проекций.

А1 – горизонтальная проекция точки. А2 – фронтальная проекция точки.

Рис. 7

Для реализации данного метода, необходимы следующие условия:

1)П1 П2;

2)S1∞ П1;

3)S2∞ П2 .

Чтобы получить плоский чертеж (эпюр Монжа), состоящий из указанных выше проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси Х12 с плоскостью П2 (рис. 7). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всеми изображениями на них, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром (от франц. еpureчертеж) (рис. 8). Заменив наглядное изображение эпюром, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность и удобоизмеряемость изображений при значительной простоте построений.

При таком способе совмещения плоскостей П1 и П2, проекции А1 и А2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси Х12. Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи, которые всегда должны быть перпендикулярны к оси.

Рис. 8

10