метод. НГ краткий курс. 2010

откладыванием аппликаты ∆Z произвольной точки 7, взятой на заменяемом фронтальном следе РП2. Таким образом, вся линия пересечения поверхности конуса и плоскости Р преобразовалась в одну линию, которую последовательно по точкам переносим сначала на горизонтальную плоскость проекций, а затем – на фронтальную.

Рис. 82

51

6.2. Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел

Архитектурные сооружения и здания, различные фрагменты и детали являются сочетанием геометрических форм – призм, параллелепипедов, поверхностей вращения и более сложных поверхностей, пересекающихся между собой. При проектировании и выполнении изображений на проекционных чертежах необходимо строить линии пересечения поверхностей.

Линия пересечения двух поверхностей – это линия, каждая точка которой принадлежит одновременно обеим поверхностям. Основной способ построения линии пересечения поверхностей – способ вспомогательных секущих поверхностей (плоскостей) или, иначе метод посредников. Этот способ аналогичен построению линии пересечений двух плоскостей общего положения.

6.3. Свойство проецирующей поверхности

Теорема: Если одна из проекций линии, принадлежит проецирующей поверхности, то другая проекция линии совпадает со следом этой поверхности (рис.83).

Рис. 83

6.4. Частные случаи пересечения поверхностей

Существуют два случая частного пересечения поверхностей:

1. Обе пересекающиеся поверхности – проецирующие.

В этом случае проекции линии пересечения поверхностей будут совпадать с соответствующими следами заданных поверхностей.

52

Задача. Построить линию пересечения двух плоскостей Σ и Г

(рис. 84).

Решение:

Плоскость Σ является горизонтально проецирующей, а плоскость Г фронтально проецирующей, следовательно, линия пересечения данных поверхностей совпадает с соответствующими следами данных плоскостей.

Рис. 84

2. Одна из пересекающихся поверхностей – проецирующая.

В данном случае одна проекция линии пересечения на чертеже уже присутствует, вторая проекция линии пересечения строится из условия принадлежности этой линии другой пересекающейся поверхности.

Задача. Построить линию пересечения пирамиды Г с фронтально проецирующей плоскостью Σ (рис. 85).

Решение:

При пересечении пирамиды фронтально проецирующей плоскостью, в сечении образуется треугольник ∆123.

Рис. 85

53

Задача. Построить линию пересечения поверхности призмы Г с конусом Σ (рис.86).

Решение:

Три боковые грани призмы являются фронтально проецирующими плоскостями, следовательно, построение линии пересечения сводится к решению задачи на пересечение поверхности проецирующей секущей плоскостью и прямой линией. Линия пересечения данных поверхностей представляет собой ломаную линию, состоящую из трех плоских кривых. Грани призмы пересекают поверхность конуса по окружности, неполному эллипсу и неполной параболе. В данном случае вспомогательными плоскостями можно не пользоваться, так как фронтальные проекции точек линии пересечения известны. Горизонтальные проекции линий пересечения строим по точкам с помощью трех параллелей конуса I, II, III, проведенных через характерные точки линии пересечения – 12, 22, 32, . Промежуточная точка 41, 42 выбрана посередине отрезка a2 b2 , который является большой осью эллипса. Одновременно определяется и дополнительная точка 52

Рис. 86

54

6.5.Общий случай пересечения поверхностей

Вэтом случае обе пересекающиеся поверхности занимают общее положение в пространстве относительно плоскостей проекций. Задачи решаются с помощью посредников, в качестве которых могут применяться плоскости частного и общего положения, а также сферические поверхности. Вид посредников выбирается так, чтобы линии пересечения с данными поверхностями были наиболее простыми и просто строились на чертеже. К таким линиям относятся прямые и окружности.

Предположим, пересекаются две поверхности Σ и Г (рис.87). В качестве посредника выбираем плоскость горизонтального уровня Р, которая пересекает поверхность Σ по кривой m, а поверхность Г – по кривой n . Эти линии в свою очередь также пересекаются в точках К и L, принадлежащих одновременно трем поверхностям (Σ, Г и Р), а следовательно, и линии пересечения поверхностей Σ и Г. Аналогично может быть найдено любое число точек линии пересечения поверхностей. Определив указанным приемом необходимое количество точек и соединив их в определенной последовательности

сучетом видимости, получим искомую линию пересечения поверхностей.

Построение линии пересечения поверхностей начинают с определения, так называемых, характерных ее точек (экстремальных) – наивысшей, наинизшей и точек перехода видимости, отделяющих видимую часть линии пересечения от невидимой, находящуюся за очерковой образующей поверхности.

Рис. 87

Задача. Построить линию пересечения поверхностей (скатов крыши, стен) основного здания и пристройки (рис.88).

Решение:

Геометрический смысл задачи сводится к построению линии пересечения поверхностей двух призм.

55

Для построения точек 1,2,3,4 пересечения ребер Е и F (карниза пристройки) с поверхностью призмы (крыша основного здания), проведем вспомогательную секущую плоскость Σ (ΣП2 П2) через точки Е, F. Линия K, L, M, N пересечения Σ с поверхностью крыши построена по точкам K, L, M, N пересечения ребер А,В, С, D этой крыши с плоскостью Σ.

Рис. 88

Точки пересечения горизонтальных проекций Е1 и F1 ребер с горизонтальной проекцией К1, L1, M1, N1 линии пересечения являются горизонтальными проекциями 11, 21. 31, 41 искомых точек. Фронтальные проекции этих точек совпадают с фронтальными проекциями Е2 и F2 ребер.

Точки 5, 6, 7, 8 пресечения ребер крыши пристройки с крышей основного здания построены аналогично (вспомогательная секущая

плоскость Г (Г П2).

Построение точек 9 и10 пересечения конька АС крыши основного здания с крышей пристройки выполнено непосредственно, так как крыша пристройки является фронтально проецирующей призматической поверхностью.

Построение точки 11 пересечения карниза основного здания со стеной пристройки выполнено как построение точки пересечения прямой с профильной плоскостью уровня.

56

Задача Построить линию пересечения поверхности прямого кругового конуса ∑ с плоскостью общего положения Г, заданной следами (рис. 89).

Решение:

Рис. 89 Определяем так называемые экстремальные (характерные) точки:

57

Через вершину конуса S1 проводим ΩП1 ГП1, на которой

Определим дополнительные промежуточные точки:

Для этого используем плоскость горизонтального уровня:

между точкамими 32 и 42 произвольно проведем фронтально проецирующую плоскость θ;

Данная плоскость θ пересекает конус по окружности (параллели), которую в плоскости П1 и описываем;

Линией пересечения плоскости θ с ГП2 является горизонталь, которую строим по точке К;

Итак, соединяем все найденные точки с учетом видимости. Таким образом, построили линию пересечения двух поверхностей, которая является эллипсом.

Данную задачу можно также решать способом преобразования чертежа (заменой плоскости проекций П2 на П4 ГП1).

Задача Построить линию пересечения поверхностей призмы и усеченного кругового конуса (рис. 90).

58

Решение:

Рис. 90

Для построения линии пересечения поверхностей, используем вспомогательные секущие плоскости ∑П2, ГП2 и ψП2.

Итак, проводим плоскость ∑ через ребро призмы С;

Строим линию пересечения посредника ∑ с поверхностью конуса, это параллель радиуса R;

Призму эта же плоскость рассекает по ребру С;

Определили общую точку – точка 1;

Далее проводим вторую плоскость посредник – Г и выполняем те же действия, т.е. строим линии пересечения посредника с конусом (параллель) и с призмой (образующие N и L). Определили точки 2 и 3;

Так же строятся точки 4, 5, 6, 7.

Все найденные точки линии пересечения поверхностей соединяют между собой с учетом видимости.

59

6.6. Построение линии пересечения поверхностей второго порядка способом концентрических сфер

При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка, которая может распадаться на две плоские кривые второго порядка.

Данный метод применяется при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются и образуют плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций (П1 или П2). В этом случае роль посредников выполняют сферы, центр которых выбирается в точке пересечения осей пересекающихся поверхностей вращения. Поскольку центр вспомогательной сферы расположен на оси поверхности вращения, то и сфера и поверхность вращения имеют общую параллель (окружность). Это свойство положено в основу метода сфер.

Поверхность вращения пересекает сфера (рис. 91). Оси поверхностей параллельны П2. Точка О – центр вращения обеих поверхностей, а также и центр пересечения этих поверхностей.

Оси поверхностей вращения совпадают, поэтому линиями их пересечения могут быть только общие параллели (окружности). На чертеже таких точек две: M и N, и столько же соответствующих им линий пересечения : p (p2) и q (q2).

Рис. 91

Итак, метод сфер применяется при построении линии пересечения

вследующих случаях:

Если пересекаются две поверхности вращения;

Оси пересекаемых поверхностей совпадают и параллельны одной и той же плоскости проекций;

Центры вписываемых сфер должны располагаться в точке пересечения осей пересекающихся поверхностей.

60