метод. НГ краткий курс. 2010

перемены плоскость треугольника должна занять проецирующее положение. После второй замены – должна занять положение плоскости уровня, а, следовательно, спроецироваться в натуральную величину.

Итак, проецирующая плоскость должна быть перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, т.е. для какой-то из плоскостей

перпендикулярны фронтальной плоскости проекций (в пространстве) и перпендикулярны оси Х (на чертеже). Поэтому в плоскости АВС строим горизонталь h , проходящую через точку А. Затем

меняем плоскости проекций:

Производим вторую замену плоскости проекций: Х45 || А4 В4 С4 , таким образом получаем проекцию А5 В5 С5 –натуральную величину АВС, который занял в плоскости проекций П5 положение

плоскости горизонтального уровня.

Рис. 52

31

4.4. Определение истинной длины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника

Как известно, проекция прямой общего положения имеет искаженную величину. Для определения натуральной величины прямой, помимо вышеизложенного метода, используется метод

прямоугольного треугольника.

Натуральная величина отрезка (рис. 53) – гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого одним катетом является проекция отрезка (А1В1), а другой катет – это разность координат его концов, взятая из другой проекции

(расстояние *).

Рис. 53

4.5. Способ вращения вокруг проецирующих осей

При решении задач на преобразование чертежа способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путем вращения их вокруг проецирующей оси.

Базовые плоскости проекций остаются неизменными. Относительно этих плоскостей проекций меняется положение геометрического элемента. Желательно, чтобы ось вращения проходила хотя бы через одну точку отрезка, который необходимо повернуть, т.е. одна точка отрезка – неподвижна, другая – вращается.

Рис. 54

32

При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, одна ее проекция перемещается по окружности, а вторая – по прямой, перпендикулярной проекции оси вращения (рис. 54). Окружность, описываемая точкой А, проецируется на плоскость П1 без искажения в виде окружности, а на плоскость П2 – отрезком прямой, перпендикулярной проекции оси вращения.

В процессе решения задач способом вращения вокруг проецирующих осей этапы преобразований геометрических элементов аналогичны тем, которые выполнялись способом замены плоскостей проекций.

Рассмотрим задачи:

Задача Определить натуральную величину отрезка АВ вращением вокруг проецирующей оси.

Решение:

Рис. 55

Прямая общего положения (рис. 55) одним вращением вокруг горизонтально проецирующей оси i (i1 ≡ В1) преобразована в линию уровня (фронталь). И, соответственно, на фронтальной плоскости проекций прямая АВ (А2 В2) проецируется в натуральную величину. Угол φ – угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций.

Задача. Определить натуральную величину АВС вращением вокруг проецирующих осей.

Решение:

Рассуждения при решении данной задачи аналогичны решению подобных задач способом замены плоскостей проекций.

33

треугольника, необходимо плоскость из общего положения перевести

фронталь). Итак, через точку В проводим горизонталь h (рис. 56), далее поворачиваем треугольник АВС вокруг горизонтально проецирующей оси i1, проходящей через вершину В на угол ψ. В результате плоскость общего положения стала фронтально проецирующей. Далее можно проделать второй поворот на угол φ вокруг фронтально проецирующей оси j2, проходящей через вершину С. Фронтальные проекции всех точек треугольника перемещаются по концентрическим дугам, а горизонтальные – по прямым, перпендикулярным оси вращения j1. После поворота на угол φ плоскость АВС оказалась параллельной П1. Следовательно, горизонтальная проекция А''1 В''1 С'1 является натуральной величиной треугольника АВС.

34

4.6. Вращение вокруг линии уровня

Данный способ применяется для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня и для определения натуральной величины плоской фигуры.

Задача решается одним вращением вокруг линии уровня данной плоскости – горизонтали или фронтали. Проекция окружности на одной плоскости проекций – прямая линия, перпендикулярная оси вращения, а на другой – эллипс. Построение эллипса заменяют определением натуральной величины радиуса вращения точки, когда фигура займет положение плоскости уровня.

плоскость частного положения. Задача решается вращением вокруг линии уровня данной плоскости треугольника.

Таким образом, за ось вращения следует принять такую прямую в плоскости треугольника, которая еще до вращения его была бы параллельна плоскости П1 (или П2), т.е. одну из его горизонталей, (либо фронталей). Итак, в плоскости АВС проводим горизонталь h2 , которая и будет являться осью вращения плоскости (рис. 57).

Рис. 57

35

В тот момент, когда плоскость треугольника будет параллельна П1, горизонтальные проекции каждой из перемещающихся вершин окажутся удаленными от оси вращения на расстояние, равное Rвращ каждой точки. Длину Rвращ можно определить способом прямоугольного треугольника.

Раздел 5

5.ПОВЕРХНОСТИ

5.1.Определитель поверхности

Поверхности рассматриваются как непрерывное движение линии в пространстве по определенному закону, при этом линия, которая движется в пространстве и образует поверхность, называется образующей, а неподвижная линия, по которой движется образующая –

направляющей (рис. 58).

Рис. 58

Как известно, на чертеже любая поверхность задается определителем – совокупностью условий и геометрических элементов. Определитель поверхности:

Σ ( Г, m ), где Г – геометрический элемент,

который движется в пространстве, m – условие

Для изображения поверхности необходимо иметь данные, позволяющие построить ее непрерывный каркас. Каркасом поверхности называется множество линий, заполняющих поверхность.

Также на чертеже для наглядности строится очерк поверхности – это проекция линии контура поверхности на плоскости проекций. Очерк поверхности отделяет видимую часть поверхности от скрытой, невидимой части на данной плоскости проекций.

36

Условно все поверхности в начертательной геометрии разделены на 5 групп:

1.линейчатые поверхности;

2.винтовые поверхности;

3.поверхности вращения;

4.циклические поверхности;

5.графические поверхности.

5.2.Линейчатые поверхности

Линейчатые поверхности образуются непрерывным движением прямой образующей по некоторой направляющей, которая может быть прямой, ломаной или кривой линией.

Линейчатые поверхности условно можно разделить на две группы:

I группа. Линейчатые поверхности с одной направляющей и точкой (вершиной)

Данные поверхности образуются движением прямой образующей, один конец которой проходит через неподвижную точку S, а второй - перемещается по направляющей m. В зависимости от того, какой линией является направляющая, образуется тот или иной вид поверхности.

Определитель такой поверхности имеет вид:

Σ (S, m),

где S – конечная точка, m – направляющая. Поверхности, образующиеся в данной группе:

а) коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m и проходящей во всех своих положениях через одну фиксированную точку (вершину) S (рис. 59).

S - конечная точка ℓ - образующая

m - кривая направляющая

Рис. 59

37

б) пирамидальная поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m и проходящей во всех своих положениях через одну фиксированную точку (вершину) S (рис. 60).

S-конечная точка ℓ - образующая

m - ломаная направляющая

Рис. 60

в) цилиндрическая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m, при условии, что S бесконечно удалена (рис. 61).

S∞ - бесконечно удаленная точка ℓ - образующая

m - кривая направляющая

Рис. 61

г) призматическая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m, при этом S бесконечно удалена (рис. 62).

S∞ - бесконечно удаленная точка ℓ - образующая

m - ломаная направляющая

Рис. 62

38

IIгруппа. Поверхности, образованные двумя направляющими

иплоскостью параллелизма

Рис. 63

Поверхности данной группы образуются при движении в пространстве прямой образующей ℓ по двум направляющим m и n, оставаясь при этом параллельной заданной плоскости Г, которая называется плоскостью параллелизма (рис. 63).

Определитель данных поверхностей:

Σ (m, n, Г),

Где: Σ – поверхность;

m и n – направляющие;

Г– плоскость параллелизма

Вданную группу входят следующие поверхности:

а) цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой образующей ℓ параллельно плоскости параллелизма Г по двум криволинейным направляющим m и n, не лежащим в одной плоскости

(рис. 64).

m и n – кривые направляющие ℓ - образующая

Рис. 64

39

б) коноид образуется движением прямой образующей ℓ параллельно плоскости параллелизма Г по двум направляющим m и n, одна из которых является прямой линией, а вторая – какой-либо кривой (рис. 65).

m – кривая направляющая n – прямая направляющая ℓ - образующая

Рис. 65

в) гиперболический параболоид (гипар) образуется движением прямолинейной образующей ℓ параллельно плоскости параллелизма Г по двум прямолинейным направляющим m и n, представляющим собой две скрещивающиеся прямые (рис. 66).

m и n – прямые направляющие ℓ - образующая

Рис. 66

5.3. Принадлежность точки поверхности

Теорема.: Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, принадлежащей данной поверхности (рис. 67).

Рис. 67

40