метод. НГ краткий курс. 2010

4. Двумя параллельными прямыми (рис.31).

∑ (a || b)

Рис. 31

5. Плоской фигурой (рис. 32).

∑ ( АВС)

Рис. 32

6. Следами (рис. 33).

∑ ( ∑П1, ∑П2 )

Рис. 33

3.2. Следы плоскости

Следами плоскости называются линии пересечения ее с плоскостями проекций (рис. 34).

Рис. 34 Следы плоскости совпадают с одноименными своими

проекциями:

∑П1 – горизонтальный след плоскости ∑ – это линия пересечения плоскости ∑ с горизонтальной плоскостью проекций П1.

21

∑П2 – фронтальный след плоскости ∑– это линия пересечения плоскости ∑ с фронтальной плоскостью проекций П2.

∑12 – точка схода следов.

3.3. Плоскость общего положения

Плоскость общего положения – это плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (рис. 35).

Все чертежи данных плоскостей были рассмотрены выше в классификации определителей.

Рис. 35

3.4. Плоскости частного положения

Кроме рассмотренного общего случая плоскость, по отношению к плоскостям проекций, может занимать следующие частные положения:

1. Плоскости уровня – это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций и перпендикулярные двум другим плоскостям проекций.

22

а) Плоскость горизонтального уровня – это плоскость,

параллельная П1 и перпендикулярная П2 и П3 (рис. 36).

Рис. 36

б) Плоскость фронтального уровня – это плоскость, параллельная П2 и перпендикулярная П1 и П3 (рис. 37).

Рис. 37

в) Плоскость профильного уровня –это плоскость, параллельная П3

и перпендикулярная П1 и П2 (рис. 38).

Рис. 38

23

Свойство плоскостей уровня:

Прямая или фигура, лежащая в плоскости уровня проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой данная плоскость уровня параллельна (рис. 39).

Рис. 39

2. Проецирующие плоскости – это плоскости,

перпендикулярные только одной из плоскостей проекций.

а) Горизонтально проецирующая плоскость – это плоскость,

перпендикулярная П1 (рис. 40).

Рис. 40

Свойство проецирующей плоскости:

Все плоские геометрические фигуры, принадлежащие к горизонтально проецирующей плоскости, проецируются на горизонтальный след данной плоскости в виде отрезка прямой

(рис.40 б, в).

б) Фронтально проецирующая плоскость – это плоскость,

перпендикулярная П2 (рис. 41).

Рис. 41

24

в) Профильно проецирующая плоскость – это плоскость,

перпендикулярная П3 (рис. 42).

Рис. 42

3.5. Признак принадлежности точки и прямой плоскости

Теорема 1: Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости (рис. 43).

Рис. 43

Теорема 2: Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, лежащей в данной плоскости (рис. 44).

Рис. 44

25

3.6. Главные линии плоскости

Из всех прямых, которые могут быть проведены в плоскости, следует выделить главные линии, к которым относятся:

1 Горизонталь плоскости – прямая, принадлежащая заданной плоскости и, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1 (рис.

45).

Рис. 45

2 Фронталь плоскости – прямая, принадлежащая заданной плоскости и, параллельная П2 (рис. 46).

Рис.46

3 Линия наибольшего ската (ЛНС) – это прямая,

перпендикулярная к горизонтали плоскости и составляющая максимальный угол с плоскостью П1 (рис. 47).

Рис. 47

26

4 Линия наибольшего наклона (ЛНН) – это линия,

перпендикулярная к фронтали плоскости и составляющая максимальный угол с плоскостью П2 (рис. 48).

Рис. 48

Раздел 4

4.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА

Вначертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений, при этом, определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависят от того, с какими проекциями (удобными или неудобными) приходится иметь дело. При этом наиболее выгодным частным положением геометрического объекта следует считать:

положение, перпендикулярное к плоскости проекций (для решения позиционных, а в ряде случаев, и метрических задач);

положение, параллельное по отношению к плоскости проекций

(при решении метрических задач).

Следует отметить, что при решении метрических задач, связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям.

Почти любая задача начертательной геометрии решается значительно проще, если хотя бы некоторые из заданных геометрических элементов занимают в пространстве частное положение (параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций). Поэтому при решении метрических задач, связанных с определением натуральных величин расстояний, углов и самих геометрических элементов, возникает необходимость преобразования чертежей, т.е. изменения их. Это позволяет перевести геометрический элемент из общего положения в частное, при котором он проецируется на плоскости проекций без искажения.

Существуют следующие виды преобразования чертежа:

27

1.способ замены плоскостей проекций;

2.способ вращения;

3.способ плоскопараллельного перемещения;

Внашем курсе мы рассмотрим два первых способа.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что при неизменном положении заданного геометрического объекта в пространстве производится последовательная замена плоскости проекций. При этом вновь введенная плоскость проекций должна быть перпендикулярна неподвижной, незаменяемой плоскости проекций, а относительно геометрических объектов она устанавливается так, чтобы эти объекты в новой системе плоскостей занимали частное положение, т.е. были бы параллельны или перпендикулярны по отношению к ней. Перпендикулярность линий проекционной связи относительно осей сохраняется. Иногда достаточно бывает изменить положение только одной плоскости проекций, а в некоторых задачах необходимо последовательно заменять обе плоскости проекций. Но более трех перемен плоскостей проекций выполнять нежелательно, т.к. накапливается большая графическая погрешность.

4.2. Замена фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций

Рис. 49 Пусть в системе плоскостей проекций П1 и П2 (рис. 49) имеется

некоторая точка А(А1, А2). Заменим фронтальную плоскость проекций

28

П2 на новую фронтальную плоскость П4, которая должна быть так же перпендикулярна П1.

Спроецируем точку А на дополнительную плоскость П4,, получили точки А14 и А4. Таким образом, мы произвели замену плоскости проекций. Условно эту операцию можно записать в

На эпюре высота точки А остается постоянной, и переносится в

новую плоскость П4, т.е.: (А12 - А2) = (А14 - А4) .

Принцип замены горизонтальной плоскости проекций (рис.50) такой же, как и рассмотренный выше фронтальной плоскости проекций. При этом глубина точки А также сохраняется в новой системе плоскостей проекций, т.е. расстояние (А12 – А1) = (А24 - А4)

Рис. 50

4.3. Основные задачи метода замены плоскостей проекций

Решение всех задач методом замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач:

1.Замена плоскости проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

2.Замена плоскости проекций так, чтобы прямая уровня стала проецирующей прямой.

3.Замена плоскости проекций так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью.

4.Замена плоскости проекций так, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.

С помощью первой задачи можно решить задачи на определение:

истинной величины отрезка;

29

угла наклона отрезка к плоскости проекций.

Совместное рассмотрение первой и второй задач позволяет решать задачи об определении:

расстояния от точки до прямой;

расстояния между двумя параллельными прямыми;

расстояния между скрещивающимися прямыми;

истинной величины двугранного угла между плоскостями. С помощью третьей задачи можно решать задачи на определение:

углов наклона заданной плоскости к плоскости проекций;

расстояния от точки до заданной плоскости;

расстояния между параллельными плоскостями. Совместное решение третьей и четвертой задач позволяет решать

задачу на определение натуральных величин плоских фигур.

Рассмотрим решение задач.

Задача. Способом замены плоскостей проекций преобразовать отрезок АВ из общего положения в проецирующий.

Решение:

Чтобы выполнить условие задачи, необходимо, чтобы отрезок в итоге спроецировался в точку (рис. 51). Одной перемены плоскостей проекций недостаточно, необходимо провести две замены плоскостей проекций. Сначала определить натуральную величину АВ, а затем преобразовать в проецирующий:

Рис. 51

Задача Способом замены плоскостей проекций определить натуральную величину АВС.

Решение:

Для решения данной задачи, необходимо последовательно дважды заменить плоскости проекций (рис. 52). После первой

30