метод. НГ краткий курс. 2010

5.4. Винтовые поверхности

Винтовые поверхности образуются винтовым движением прямой образующей. Это совокупность двух движений образующей: поступательного перемещения вдоль оси поверхности и вращательного вокруг оси.

Определитель поверхности:

Σ (ℓ, i, H, φ ),

где ℓ – образующая; i – ось;

Н – шаг винтовой линий; φ - угол наклона образующей к оси.

Если образующая – прямая линия, поверхность называется геликоидом. В зависимости от угла наклона образующей к оси, геликоид может быть прямой при φ = 900 (рис. 68а) и наклонный, если φ ≠ 900 (рис. 68б). Если образующая пересекается с осью поверхности, геликоид называют закрытым, если не пересекается –

открытым.

Рис. 68

41

5.5. Поверхности вращения (ротационные) Определитель поверхностей вращения

Поверхности вращения получили широкое применение в архитектуре и строительстве. Они наиболее ярко выражают центричность архитектурной композиции и, кроме того, отличаются строительной технологичностью возведения сооружений.

Поверхности вращения образуются вращением образующей ℓ вокруг неподвижной оси i.

Образующая, которая вращается в пространстве (ℓ), образуя поверхность, может быть прямой, ломаной, а также плоской или пространственной кривой.

Если образующая произвольной формы, то такая поверхность называется поверхностью вращения общего положения (рис. 69).

Рис. 69 Окружность, которую точка описывает вокруг оси, называется

параллелью. Параллель максимального диаметра называется экватором, параллель меньшего диаметра – горлом. Если рассечь данную поверхность вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения, то эта плоскость рассечет поверхность по линии, называемой меридианом или образующей. Линия контура поверхности называется очерковой или главным меридианом.

Определитель поверхности вращения:

Σ ( i, ℓ )

где i-ось вращения,

ℓ - образующая (меридиан).

42

5.6. Поверхности, образованные вращением плоской кривой

Поверхности данной группы называются поверхностями общего положения.

Алгоритм построения поверхностей (рис. 70):

1.На меридиане (образующей) выделить ряд точек;

2.Каждую точку повернуть вокруг оси i до положения, параллельного оси Х12, т.е провести параллели;

3.Определить проекции точек на другой плоскости проекций;

4.Полученные точки соединить плавной огибающей касательной линией для получения очерка поверхности;

5.Определить видимость поверхности.

Рис. 70

5.7. Принадлежность точки поверхности вращения

Теорема: Точка принадлежит поверхности вращения, если она находится на параллели этой поверхности (рис. 70, точка А).

43

5.8. Поверхности, образованные вращением прямой

Определитель поверхности: Σ ( i, ℓ ),

где i - ось вращения, ℓ - прямая.

а) коническая поверхность вращения – образуется вращением прямой образующей ℓ вокруг неподвижной оси i и пересекающей эту ось (рис. 71).

Рис. 71

б) цилиндрическая поверхность вращения - образуется вращением прямой образующей ℓ вокруг неподвижной оси i и параллельно этой оси (рис. 72)

Рис. 72

в) однополостный гиперболоид вращения - образуется при вращении линии вокруг мнимой оси (рис. 73).

Рис. 73

44

5.9. Поверхности, образованные вращением окружности

Определитель поверхности: Σ ( i, ℓ ),

где i - ось вращения, ℓ - окружность.

а) сфера (шар) – поверхность, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 74).

Рис. 74

б) тор – поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, но не совпадающей с ее диаметром.

- открытый тор (кольцо) образуется в случае, если окружность не пересекает ось вращения (рис. 75).

Рис. 75

- закрытый тор – ось вращения лежит в плоскости окружности, не пересекаясь, но касаясь окружности (рис. 76).

Рис. 76

45

5.10. Поверхности, образованные вращением кривых II порядка

Определитель поверхности: Σ ( i, ℓ ),

где i - ось вращения, ℓ - кривая.

а) эллипсоид вращения - образуется, если сферу сжать или растянуть вдоль одного из диаметров, его меридианом является эллипс. Если эллипс вращается вокруг большой оси, эллипсоид называется вытянутым (рис.77а); если вращение происходит вокруг малой оси, эллипсоид называется сжатым или сфероидом (рис.77б)

Рис. 77 б) параболоид вращения – образуется при вращении параболы

вокруг ее оси (рис. 78).

Рис. 78 в) гиперболоид вращения – образуется вращением гиперболы

вокруг ее оси (рис. 79).

Рис. 79

46

Раздел 6

6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Большое место в начертательной геометрии уделяется решению позиционных задач, в которых рассматривается взаимная принадлежность геометрических образов относительно плоскостей проекций и друг друга.

6.1.Пересечение поверхности геометрического тела

сплоскостью

Построение линии пересечения поверхности с плоскостью применяется при образовании форм различных деталей строительных конструкций, при вычерчивании разрезов и планов зданий и сооружений, разрезов и сечений различных деталей зданий (балок, панелей и плит перекрытий, стен, элементов конструкций, машин и т.д.).

Линия пересечения поверхности с плоскостью является линией,

одновременно принадлежащей поверхности и секущей плоскости. Замкнутая фигура, образованная линией пересечения поверхности

тела секущей плоскостью, называется сечением и является частью секущей плоскости, заключенной внутри поверхности.

Линией пересечения поверхности и плоскости может быть прямая, ломаная или кривая линия в зависимости от того, какая поверхность пересекается с плоскостью и как плоскость расположена относительно поверхности. О характере линии пересечения часто можно знать прежде, чем она построена; в связи с этим и выбирается тот или иной способ ее построения. Если линия пересечения – прямая, достаточно найти две ее точки, если ломаная, нужно знать положение точек излома, если линия пересечения – кривая, необходимо найти столько ее точек, чтобы с достаточной для практики точностью построить проекции линии.

Чтобы построить линию пересечения поверхности какого-либо геометрического тела с плоскостью, необходимо определить точки пересечения с данной плоскостью ребер поверхности, если поверхность является многогранником, или отдельных образующих поверхности тела, если последняя является кривой поверхностью. Соединив последовательно найденные точки прямыми линиями (если поверхность является многогранником) или плавной кривой линией (в случае пересечения с плоскостью кривой поверхности), получим искомую линию пересечения.

47

Рис. 80

48

Прежде чем перейти к построению линии пересечения поверхностей вращения плоскостью, рассмотрим так называемые конические сечения – линии, полученные в результате пересечения поверхности конуса секущей плоскостью (рис. 80).

При пересечения конуса плоскостью, могут образоваться:

1.окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (рис. 80 а);

2.эллипс, если секущая плоскость пересекает ось и не перпендикулярна ей (рис. 80 б);

3.парабола, если секущая плоскость пересекает одну полу конуса и параллельна одной образующей конуса (рис.

80в);

4.гипербола, если секущая плоскость пересекает обе полы конуса и параллельна двум его образующим (рис. 80 г);

5.пересекающиеся прямые, являющиеся образующими конуса, если секущая плоскость проходит через вершину поверхности конуса (рис. 80 д).

Задача. Построить проекции линии пересечения поверхности горизонтально проецирующего цилиндра Г с фронтально проецирующей плоскостью Σ (рис.81).

Решение:

Рис. 81

В пространстве линия пересечения (m) поверхности цилиндра Г с плоскостью Σ представляет собой эллипс. На эпюре горизонтальная проекция данной линии пересечения совпадает с горизонтальным следом цилиндра Г (ГП1), а фронтальная проекция – с фронтальным следом плоскости Σ (ΣП2). Итак, m2 ≡ ΣП2 – прямая, m1 ≡ ГП1 – окружность.

49

Задача. Построить проекции линии пересечения поверхности конуса с плоскостью общего положения Р.

Решение:

В данном случае необходимо построить обе проекции линии пересечения поверхности с плоскостью Р. Решение задачи выполнено двумя способами (рис. 82).

Рассмотрим первый способ. Точки пересечения отдельных образующих конуса с заданной плоскостью определяются с помощью вспомогательных секущих плоскостей аналогично построению точки пересечения прямой с плоскостью. Сечение конуса неполное, оно включает линию пересечения основания конуса. Две точки определяются в горизонтальной плоскости в пересечении горизонтального следа РП1 плоскости с окружностью основания конуса. Построим характерные точки линии пересечения (наивысшую точку, точки перехода видимости).

Точка пересечения очерковой образующей S111, S212 с плоскостью (точка перехода видимости) определяется с помощью вспомогательной фронтальной плоскости Q, проведенной через ось конуса и пересекающей плоскость по фронтали mf. В пересечении ее фронтальной проекции с очерковой образующей конуса определяем проекции точки 2.

Наивысшая точка линии пересечения 6 расположена на линии наибольшего ската плоскости, проходящей через ось конуса. Она определяется с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости δ.

Промежуточные точки линии пересечения 8 и 9 построены с помощью горизонтальной плоскости Г, которая пересекает конус по окружности радиуса R, а плоскость Р – по горизонтали.

Кривая линия пересечения представляет собой часть эллипса. Это можно определить построением, продолжив фронтальную проекцию n2 t2 линии пересечения плоскостей δ и Р до пересечения с образующей S2 32 конуса. Если бы линия пересечения плоскостей оказалась параллельной образующей S1 31, то сечение было бы параболой.

Чтобы упростить решение задачи и уменьшить количество построений, можно применить второй способ. Он заключается в преобразовании чертежа заменой фронтальной плоскости проекций, при котором заданная плоскость общего положения Р преобразуется во фронтально проецирующую. Новая ось Х14 и фронтальная плоскость проекций П4 выбираются перпендикулярными заданной плоскости и ее горизонтальному следу РП1. Новый фронтальный след РП4 проходит через точку Р14 и точки 84 ≡ 94 , которые построены

50