метод. НГ краткий курс. 2010

1.5.Частные случаи расположения точек

впространстве

Точка А, расположенная в пространстве, называется точкой оригинала. На эпюре она отсутствует, но, если точка принадлежит к какой-либо плоскости проекций, то в этом случае точка-оригинал совпадает со своей проекцией (рис. 9).

.

Рис. 9

1.6. Построение дополнительной профильной плоскости проекций

Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных

называется профильной. Проекции точки на эту плоскость также именуются профильными.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси:

X12 - ось абсцисс; Y13 - ось ординат; Z23 - ось аппликат, которые можно рассматривать, как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О (origo - начало).

Для получения эпюра, плоскости П1 и П3 вращают до совмещения с плоскостью П2.

На этом основан координатный способ построения точки.

11

Рис. 10

1.7. Октанты

Плоскости проекций при взаимном пересечении делят пространство на 8 трехгранных углов, или октантов ( от лат. Octans –

восьмая часть).

Расчет их ведется в следующем порядке: I, II, III и IV – с левой стороны от профильной плоскости, а V, VI, VII, VIII – с правой.

I (+, +, +)

II (+, −, +)

III (+, −, −)

IV (+, +, −)

V (−, +, +)

VI (−, −, +)

VII (−, −, −)

VIII (−, +, −)

12

Раздел 2

2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛИНИИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА.

Простейшим геометрическим образом является линия. В начертательной геометрии приняты два способа образования линии:

1.Кинематический - линия рассматривается как траектория точки, непрерывно перемещающейся в пространстве.

2.Линия образуется пересечением двух поверхностей.

На эпюре Монжа линия изображается двумя проекциями (рис. 11): горизонтальной ℓ 1 и фронтальной ℓ 2.

Рис. 11

2.1. Определитель линии

Определитель – это совокупность условий, задающих геометрический образ.

Определитель линии – это точка и направление ее движения

(рис.12): ℓ(А, S∞).

Рис. 12

Частным случаем плоской линии является прямая линия (рис. 13). Определитель прямой ℓ задается двумя точками: ℓ (А, В).

Рис. 13

13

2.2. Прямая общего положения

Прямой общего положения называется прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, т.е. она занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 14).

Рис. 14

2.3. Прямые частного положения

Прямые частного положения – это прямые, параллельные или перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. Существуют 6 прямых частного положения, которые, в свою очередь, делятся на две группы:

1. Прямые уровня – это прямые, параллельные только одной плоскости проекций:

а) горизонталь (h) – прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис.15).

α – угол, образованный горизонталью с фронтальной плоскостью проекций.

Рис. 15

14

б) фронталь (f)- прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 16).

φ – угол, образованный фронталью с горизонтальной плоскостью проекций.

Рис. 16

в) профильная прямая (p) – прямая, параллельная профильной плоскости проекций (рис. 17).

Рис. 17

2.Проецирующие прямые – это прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций:

а) горизонтально проецирующая прямая – прямая,

перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 18).

Рис. 18

15

б) фронтально проецирующая прямая – прямая,

перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис. 19).

Рис. 19

в) профильно проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис.20).

Рис. 20

2.4. Принадлежность точки линии

Теорема : Точка принадлежит линии, если одноименные проекции точки лежат на одноименных проекциях линии (рис. 21).

Рис. 21

16

2.5. Следы прямой линии

Рис. 22

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется

следом прямой.

Горизонтальный след М – точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций П1.

Фронтальный след N – точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций П2.

Итак, предположим, в пространстве задана прямая m (А, В)

проекциями m1 (А1, В1) и m2 (А2 , В2) (рис.22).

Для построения горизонтального следа М прямой, необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью Х12 и в этой точке восстановить к оси перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Для построения фронтального следа N прямой, необходимо из точки пересечения горизонтальной проекции ее с осью Х12 восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

2.6. Взаимное расположение прямых линий

Две прямые в пространстве могут: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться.

1. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость проекций (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. (рис.23).

Рис. 23

17

2. Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Прямые пересекаются, если их одноименные проекции также пересекаются, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи (рис.

24).

Рис. 24

3. Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Прямые скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны между собой, а

2.7. Определение видимости геометрических элементов

При изображении непрозрачных предметов, в целях придания чертежу большей наглядности, проекции видимых элементов принято вычерчивать сплошными линиями, а невидимых – штриховыми. Вопрос о видимости того или иного предмета на ортогональном чертеже приходится решать для каждой проекции в отдельности.

Точки, относящиеся к различным геометрическим объектам и лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими в видимости по отношению к той плоскости проекций, к которой проецирующий луч перпендикулярен.

Положение скрещивающихся прямых положено в основу метода конкурирующих точек, который используется для определения видимости геометрических элементов (рис. 26):

1)Чтобы определить видимость в горизонтальной проекции конкурирующих точек двух скрещивающихся прямых m и n, необходимо через точку пересечения горизонтальных проекций

этих прямых (11≡21) провести линию связи до фронтальных проекций этих же прямых. Найденные точки 12 и 22 будут являться

18

фронтальными проекциями конкурирующих точек. Видимой будет та точка, которая расположена выше, т.е. больше высота (в данном случае – точка 1).

2)Чтобы определить видимость во фронтальной проекции конкурирующих точек двух скрещивающихся прямых m и n, необходимо через точку пересечения горизонтальных проекций этих прямых (32≡42) провести линию связи

которая расположена дальше от плоскости П2, т.е. больше глубина (в данном случае – точка 4).

2.8. Теорема о прямом угле

Теорема: Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а другая сторона не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения.

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то проекции их в общем случае образуют угол, не равный 900.

Для того, чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна, а другая не перпендикулярна плоскости проекций.

Рис. 27 Действительно, пусть сторона АВ прямого угла АВС параллельна

плоскости П1 (рис. 27а). Требуется доказать, что проекция его: угол

А1В1С1 = 900.

19

Прямая АВ перпендикулярна плоскости ∑, т.к. АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ1, проходящим через точку В. Прямая АВ и ее проекция А1В1 – две параллельные прямые, а потому А1В1 также перпендикулярна плоскости ∑. Следовательно, А1В1 перпендикулярна В1С1.

На основании изложенного, можно утверждать, что углы, показанные на рис 27 (б, в), являются проекциями прямых углов. Сторона a (рис. 27 б) параллельна плоскости П1, а сторона с параллельна плоскости П2 (рис. 27.в).

Раздел 3

3.ПЛОСКОСТЬ

3.1.Определители плоскости

Плоскость - простейшая поверхность I порядка, задается определителем:

∑ ( Г, А ), где: ∑ - обозначение плоскости (поверхности); Г, А - совокупность условий, задающих закон

образования плоскости.

Плоскости могут быть заданы следующими определителями: 1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 28).

∑ (А,В,С)

Рис. 28

2. Прямой и точкой, не лежащей на ней

(рис.29).

∑ (ℓ, А)

Рис. 29

3. Двумя пересекающимися прямыми (рис. 30).

∑ (a ∩ b)

Рис. 30

20