метод. НГ краткий курс. 2010

8.7. Изображение плоскости

Плоскость в проекциях с числовыми отметками изображается и задается теми же определителями, что и в ортогональных проекциях, а именно:

тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 117);

Рис. 117

прямой и точкой, не лежащей на этой прямой (рис. 118);

Рис. 118

двумя параллельными или пересекающимися прямыми (чертежи см. выше);

проекциями плоской фигуры (рис. 119).

Рис. 119

Но обычно в проекциях с числовыми отметками плоскость задается масштабом уклона ∑i – это проградуированная проекция линии наибольшего ската плоскости. Его выделяют 2-мя параллельными прямыми (тонкой и толстой) и обозначают буквой с индексом ∑i .

81

Итак, на рис. 120 изображена плоскость ∑, пересекающая плоскость уровня П0 по линии ∑0. В плоскости ∑ проведена линия ската MN и построена ее проекция mn на плоскость П0 . Угол φ между прямой MN и ее проекцией mn определяет угол наклона плоскости ∑ к плоскости уровня П0.

Рис. 120

Проградуируем линию ската по высоте, для этого проведем горизонтальные линии, которые должны быть перпендикулярны к линии ската M N.

Спроецируем горизонтали на проекцию mn, они должны быть параллельны следу ∑0 .

Итак, плоскость ∑ задана на чертеже масштабом уклонов ∑i, которая, как говорилось выше, изображается в виде 2-х параллельных прямых, одна из которых в 2-3 раза толще другой, и горизонталей, перпендикулярных к масштабу уклонов.

Проекция mn линии ската MN с нанесенными на ней интервалами является масштабом уклона плоскости ∑ и

обозначается, в данном случае, ∑i.

Углом падения плоскости ∑ называют угол , образованный данной плоскостью ∑ и плоскостью П0.

Иногда, особенно при решении инженерных задач на местности, требуется определить положение плоскости по отношению к сторонам света. В таком случае вводится понятие угла простирания плоскости.

Под направлением простирания принимают правое направление горизонталей, если смотреть на плоскость в сторону возрастания числовых отметок.

82

Угол, составленный земным меридианом и направлением простирания называется углом простирания (ψ) и является азимутом этих линий. Этот угол отсчитывается от северного конца меридиана против часовой стрелки до направления простирания.

Углы падения и простирания находят широкое применение в геологии как элементы, характеризующие залегание пласта горной породы в толще земной коры.

Задача 1. Через точку А7 провести плоскость ∑ с углом падения= 350 и углом простирания ψ = 1350 (рис. 121) .

Решение:

Рис. 121

Вершиной угла простирания может быть любая точка чертежа, в том числе и точка А. Через проекцию А7 данной точки проведем земной меридиан «север – юг» и под углом ψ = 1350 – прямую линию (направление простирания), которая будет являться горизонталью искомой плоскости, имеющей отметку 7. В произвольном месте под прямым углом к этой горизонтали проведем линию масштаба уклонов искомой плоскости ∑i . Для градуирования масштаба уклонов, т. е. для определения интервала ℓ плоскости, построим прямоугольный треугольник с одним катетом, равным единице длины (заданного масштаба) и противолежащим углом = 350. Второй катет этого треугольника и будет являться интервалом ℓ.

Или рассчитать по формуле: LР = 1 / tg .

При градуировании масштаба уклонов принято, что возрастание отметок идет от наблюдателя вперед вытянутой в сторону правой руки, совпадающей с направлением простирания.

83

8.8. Взаимное расположение плоскостей

Две плоскости в пространстве могут либо быть параллельными между собой, либо пересекаться под прямым или острым-тупым углами.

1. Плоскости параллельны (рис. 122),

если:

масштабы уклонов параллельны;

интервалы плоскостей равны;

возрастание или убывание отметок идет в одном направлении.

Рис. 122

2. Пересекающиеся плоскости

(рис.123):

Плоскости, масштабы уклонов которых не удовлетворяют хотя бы одному из указанных выше условий, пересекаются.

Рис. 123

Проекция линии пересечения двух плоскостей проходит через точки пересечения проекций одноименных горизонталей этих плоскостей.

Следствие: Если масштабы уклонов плоскостей взаимно параллельны, то взаимно параллельны их горизонтали, параллельна им будет и линия пересечения плоскостей. Поэтому для построения проекции линии пересечения плоскостей (рис. 124) достаточно найти лишь одну какую-либо общую для них точку. В этом случае за общую точку может быть принята К – точка пересечения прямых, соединяющих точки с одинаковыми отметками масштабов уклонов ∑i и Qi плоскостей ∑ и Q .

Рис. 124

84

8.9. Взаимное расположение прямой и плоскости

1. Пересечение прямой с плоскостью

Задача. Построить точку пересечения прямой А4 В7 с плоскостью, заданной масштабом уклонов ∑i .

Решение:

Алгоритм решения задачи такой же, как на эпюре Монжа (рис.

125):

1)Проводим через прямую АВ плоскость-посредник Г общего положения. Градуируем прямую АВ. Далее в любом направлении, но взаимно параллельно проводим горизонтали плоскости-посредника Г от точек А и В.

2)Находим линию пересечения одноименных горизонталей плоскостей Гi и ∑i - это линия СD.

3)Проекцией искомой точки пересечения прямой с

плоскостью ∑i будет точка К - точка пересечения прямой АВ и прямой СD.

Рис. 125

2. Перпендикулярность прямой и плоскости (рис. 126).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой этой плоскости, в том числе и к линии ската (уклона). Следовательно, угол наклона такой прямой к плоскости проекций равен 900 – φ. Т.к. уклон плоскости равен tg φ, то уклон перпендикулярной ей прямой равен tg 900 – или сtg φ.

Итак, уклон плоскости и уклон перпендикулярной ей прямой обратно пропорциональны. Отсюда вытекает:

85

ℓпл = 1/ ℓпер, где ℓпл – интервал плоскости; ℓпер - интервал прямой перпендикулярной плоскости.

Рис. 126

Задача. Из т-ки А10 плоскости, заданной масштабом уклонов, опустить -р на пл-ть Σ и проградуировать его.

Решение:

Алгоритм решения задачи (рис. 127):

Рис. 127

1.Построение проекции перпендикуляра АК (АК ||Σi).

2. Определение интервала LАК с помощью прямоугольного треугольника СВD с высотой ВЕ = 1м (1 ед).

3.Градуирование перпендикуляра, отметки которого должны убывать в сторону, противоположную

86

направлению убывания отметок горизонталей плоскости Σi.

4.Определение точки К пересечения перпендикуляра с

плоскостью Σi. При этом, прямая М7N6 представляет собой линию пересечения заданной плоскости Σi и вспомогательной Гi, проведенной через перпендикуляр.

5.Построение прямоугольного треугольника АА10К6,4, длина гипотенузы которого и является искомым

расстоянием, а один из катетов - h = 10 - 6,4=3,6.

8.10.Изображение поверхностей

Врассматриваемом методе все поверхности независимо от способа их образования изображают проекциями их горизонталей с указанием отметок, фиксирующих уровень плоскости каждой горизонтали. Множество горизонталей образуют дискретный каркас поверхности, позволяющий решать с его помощью позиционные и метрические задачи.

Особенно важно изучить изображение поверхностей, ограничивающих земляные сооружения – дороги, каналы и их откосы. Если ось дороги представляет собой наклонную или горизонтальную прямую, то откос дороги будет ограничен плоскостью, когда же ось дороги – плоская или пространственная кривая, то откос ограничен поверхностью (винтовой, конической и т.д.)

1. Гранные поверхности задают проекциями ребер с указанием отметок вершин ( рис. 128).

на то, что основание пирамиды лежит в плоскости П0. Произведя

соединив прямыми линиями точки, имеющие одинаковые отметки.

87

На инженерно-строительных чертежах (планах) многогранные поверхности часто задаются проекцией и отметкой одной из граней (например, дно котлована, бровки земляного полотна и т.п.) и уклонами двух граней (например, откосов насыпи или выемки земляного полотна и т.п.). такое задание вполне определено и удобно для решения ряда инженерных задач, связанных с определением границ и объемов земляных работ.

Аналогично гранным поверхностям строятся и поверхности вращения.

2. Кривые поверхности изображаются горизонталями, представляющими собой линию, которая получается в результате сечения поверхности плоскостями уровня, расположенными друг от друга на одинаковом расстоянии.

Рис. 129

Так, на рис. 129 показано семейство эллипсов – горизонталей эллиптического конуса. Очерковыми линиями этой поверхности служат касательные к эллипсам и «внешние» дуги крайних гор-лей с отметками 0 и 3.

Направление, в котором происходит понижение местности, указывается бергштрихами ( ≈ 2 мм).

8.11. Поверхность одинакового ската (равного уклона)

Поверхностью одинакового ската называется линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с некоторой плоскостью одинаковый угол. Эта поверхность представляет собой огибающую семейства прямых круговых конусов, вершины которых расположены на некоторой пространственной кривой (рис. 130). Конусы, образующие поверхность одинакового ската, изображаются на П0 рядом концентрических окружностей с центрами в точках направляющей с целочисленными отметками. Поверхность одинакового ската изображается на плоскость П0

88

касательными, проведенными к горизонталям конусов с одноименными числовыми отметками.

Рис. 130

Разберем построение поверхности одинакового ската, которая часто встречается в практике проектирования откосов дорог на кривой с уклоном.

Пусть по кривой линии n скользит вершина прямого кругового конуса с вертикальной осью, занимая последовательно положения А, В, С. Линия ската такой поверхности, проведенная через любую точку кривой n (А, В, С), совпадает с одной из образующих конуса, вершина которого лежит в этой точке. Поэтому образующей поверхности одинакового ската является прямая линия и поверхность относится к линейчатым.

8.12. Топографическая поверхность

Существует большой класс поверхностей, строение которых не подчинено строгому математическому описанию. Такие поверхности называют топографическими. Одним из примеров топографической поверхности может служить рельеф Земли.

Топографическая поверхность изображается при помощи горизонталей, полученных путем пересечения земной поверхности горизонтальными плоскостями, отстоящими друг от друга на равном расстоянии (рис. 131).

По возрастанию или понижению горизонталей можно судить о том, изображена ли возвышенность или низменность.

89

Рис. 131

Профиль топографической поверхности– фигура, полученная в результате сечения поверхности вертикальной плоскостью.

Для построения профиля рельефа местности по заданному направлению топографическую поверхность пересекают вертикальной плоскостью и строят линию пересечения этой плоскости с топографической поверхностью.

Задача. Построить линию пересечения плоскости с топографической поверхностью.

Решение:

Для этого находим точки пересечения одноименных горизонталей плоскости и поверхности (рис. 132). Соединяя точки плавной линией («от руки»), получаем искомую линию пересечения.

Рис. 132

90