книги из ГПНТБ / Мастеров, В. А. Практика статистического планирования эксперимента в технологии биметаллов

торы при этом поддерживают на постоянном (лучшем) уровне, незначимые факторы устанавливают внутри ин­ тервала (— 1, + 1 );

в) ставится эксперимент в точке М'. Если полученн значение отклика у(М') хотят дальше улучшить, ставит­ ся эксперимент 2п или дробная реплика с центром в точ­ ке М', снова вычисляется qrad у и повторяются преды­ дущие пункты восхождения к у = у тах-

Концом крутого восхождения обычно считают шаг, когда линейная модель (34) становится неадекватной

или достигнуто намеченное значение утах (например,

у — выход годного близок к 100%). Для получения адек­ ватной модели области оптимума достраивают дробную реплику до полного факторного эксперимента "’или до плана второго порядка. Располагая моделью с квадра­ тичными членами, уточняют координаты экстремума у, приравнивая нулю частные производные:

dy/dXt = 0.

Пример крутого восхождения по градиенту рассмот­ рен ниже.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ (ПЛАН 22 И КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ МЕТОДОМ ГРАДИЕНТА)

Исследовали [37] зависимость пластичности от тем­ пературы и скорости деформации. Параметр оптимиза­ ции у — относительное удлинение после разрыва б, % об­ разцов типа 1К по ГОСТ 9651—61.

Факторы:

Xi — температура образца в начале испытания, °С; оп­ ределяется с помощью термопары; ,v2= lg e, размерность

скорости деформации е равна с-1, значение е постоянно в ходе опыта и обеспечивается конструкцией кулачково­ го пластометра УЗТМ.

Исследование сплава АМгЗ

Вначале реализовали план 22, причем Xoi = 325°C, ДХ| =

70

После расчета коэффициентов модели, оценки их значимости и проверки адекватности модель имеет вид:

Для поиска области большей пластичности использо­ ван метод крутого восхождения по поверхности отклика.

Шаг восхождения по оси Л):

т1 = bxAxx = (Н- 2,08)-25 = -+ 52 « 50° С.

Шаг восхождения по оси Х2\

•тг = Ь2Д*2 = (— 1,35)-0,05 = — 0,066.

Ставятся мысленные опыты:

Реализация опытов 6— 8 с наибольшими значениями отклика дала следующие результаты:

У в = 20,55, у7 = 23,7, р8 = 22,4%,

что подтверждает прогноз, выдвинутый на основании мо­ дели (36).

Исследование сплава В93

Вначале реализовали план 22: x0i= 330°C, Axi = 30°C, Ar02= lg 6= 1,00 и A*2= A (lg e) = 0,05, с = 5 :

71

л

Была получена модель: у = 19,164-2,Тб-Х^+О.бЗХг- Шаг восхождения по оси Хх шл= (+2,76) ■Axi=82,8. Шаг восхождения по оси Х2 т2 — (+0,83°) Дх2=0,042.

Приняли ni\ — 80° С, «2=0,041.

Опыты на этапе крутого восхождения по поверхности от­ клика:

72

В описываемой работе Г. Я- Гуна и Трыонг Ван Кау не ставилось задачи найти вершину области экстремума удлинения: авторы ограничились получением значений:

для АМгЗ 6 щах= 23,7%,

для В93 6шах = 38,75%.

Последовательное планирование поставленных экспе­ риментов иллюстрирует рис. 20.

МЕТОД СИМПЛЕКСОВ

В симплексном методе оптимизации изучение поверх­ ности отклика совмещается с движением по ней к обла­ сти оптимума. Симплекс — выпуклая фигура в «-мер­

перимента представляет со­ бой насыщенный план. Идею оптимизации с помощью по­ следовательных симплексов

В точках 1—3 начально­ го симплекса ставят по одно­

му опыту. Предположим, получили У\<.у2 <Уг, т.е. наи­ худшее значение параметра оптимизации отмечено в точке 1. Тогда строим точку 4 — зеркальное отражение наихудшей точки 1 в противоположной ей грани 2—3 симплекса. Находим опытное значение гд. Точки 2—4 рассматриваем совместно, как второй симплекс.- От­

73

бросим из него худшую точку (пусть, например, это бу­ дет точка 2 ). Построим вместо нее новую точку 5 и но­ вый симплекс 3—5. Удалим из симплекса 3—5 худшую точку ....

В ходе такой процедуры формируется цепочка сим­ плексов, последовательно перемещающихся к точке эк­ стремума у. Показано [3], что описанное перемещение совпадает с движением по градиенту, рассчитанному по результатам наблюдений в вершинах исходных симп­ лексов.

Экспериментаторы обычно используют правильные симплексы, т. е. фигуры с равными расстояниями вершин от центра симплекса, а начало координат (Х<= 0) сов­ мещают с центром исходного симплекса. Тогда координа­ ты вершин исходного симплекса можно взять из табл. 17. Содержащийся в таблице план обладает свойством орто­ гональности (8), симметричности (12), но

п+1

2 ^ = 0,5,=^=/1+1.

0=1

Поэтому информационная матрица плана имеет вид:

При числе факторов больше двух координаты очеред­ ной точки вычисляют следующим образом:

74

случае возвращаемся к предыдущему симплексу и стро­ им вершину (гг-}-1 )— отражение вершины (и—2).

2. Началось вращение симплексов вокруг одной из вершин (вокруг вершины 11 на рис.21). Это возможно при большой ошибке измерения отклика у или нахожде­ нии симплексов вблизи экстремума у. Ошибки можно устранить дублированием сомнительных опытов. Если подтверждается отсутствие ошибки, в области «зацик­ ливания» симплексов ставится специальный план для изучения области оптимума, например, план второго по­ рядка.

В металлургии метод симплексов нашел широкое при­ менение в изучении свойств сплавов, оптимизации их со­ става [38, 86 и др.].

75

При движении к области оптимума можно использо­ вать и нерегулярные симплексы, а также учитывать зна­ чения отклика во всех точках предыдущего симплекса при выборе новой точки эксперимента [39, 40]. Предпо­ ложим, в вершинах нерегулярного исходного симплекса А, В, С, (рис. 22) значения отклика Уа < У в < У с ■Отбра­ сываем худшую точку А, но при определении координат новой точки Е учтем значения у в точках В и С:

строим такую точку D на противоположной грани, чтобы

BD/DC = ус!ув \

на продолжении отрезка AD строится искомая точка Е так, чтобы A D = D E .

Обобщая рассмотренный метод на случай п-мерного симплекса, получим формулу для расчета координат но­ вой точки:

~( ^ У и + уmin) ^/min •

Полезным приемом ускорения движения к оптимуму является определение по результатам опытов предыду­

76

щего симплекса координат не одной, а нескольких новых точек опытов. Например, в задаче с двумя факторами ис­ ходный симплекс А, В, С дал худшую точку А. Тогда сле­ дующие опыты проводим в точках D и Е, построение ко­ торых ясно из рис. 23: отрезок СЕ равен отрезку ВС, от­ резок CD равен отрезку АС, новые точки лежат на продолжении сторон исходного симплекса. Процедура продолжается, как показано на рисунке.

Таким образом симплекс-планирование: представляет собой хорошо формализованный и про­

стой способ оптимизации; использует при выборе движения к оптимуму самые

свежие наблюдения, что особенно важно при изменении координат оптимума во времени;

позволяет использовать как регулярные (правиль­ ные), так и нерегулярные симплексы; в последнем случае несущественны отклонения координат фактических то­ чек опыта от намеченных.

Однако информация о форме поверхности отклика, получаемая симплекс-методом, ограничена.

ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Если факторы и интервалы их варьирования выбра­ ны удовлетворительно, а план первого порядка не дал адекватной модели, технологу рекомендуется строить модель в виде квадратичного полинома:

Полиномом второй степени обычно удается описать почти стационарную область, где предположительно на­ ходится экстремальное значение у, и найти координаты экстремума ^ из условий

с увеличенным числом опытов по сравнению с матрица­

77

ми планов первого порядка. Для технолога удобно поль­ зоваться планами второго порядка, получающимися до­ бавлением новых точек к планам первого порядка. Такие планы разработаны и называются композиционными, или последовательными. Если точки плана располагаются

симметрично относительно центра Х = 0 , план называется

центральным.

Центральный композиционный план второго порядка строится следующим образом:

Эти три сферы и образуют план второго порядка. Вы­ бор числа звездных точек и радиуса у оценивается с по­ мощью системы критериев оптимальности планов [41].

Поскольку не удается полностью удовлетворить все тре­ бования системы критериев, на практике применяют планы второго порядка, удовлетворяющие полностью од­ ному или нескольким критериям. В частности, широкое распространение получили ортогональное композицион­ ное планирование и рототабельное композиционное пла­ нирование.

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

На рис. 24 показано расположение точек планов для двух и трех факторов. Величина звездного плеча у равна

1,000 для п = 2, 1,215 для п= 3 и 1,414 для п = 4. Ортого­ нальность плана достигается специальным преобразова­ нием квадратичных переменных и выбором величины

плеча у. В самом деле, если й ^ = ± 1 , то Х1 = + 1 и столб­ цы Х0 и Х\ не ортогональны. Поэтому при расчете коэф­

фициентов регрессии в колонку X£ записывается преоб­ разованная переменная

78

Т а б л и ц а 18

Матрица планирования, результаты опытов и расчетов прочности сварных соединений Х18Н10Т+А99+А М г6

79