книги из ГПНТБ / Мастеров, В. А. Практика статистического планирования эксперимента в технологии биметаллов

t и и — числа повторений рангов в первой и второй строке.

Врассматриваемом примере Т = О, U = 0,5-2- (2—1) =

=1. Тогда р = 0,823. Значения р в зависимости от согла­

сованности ранжировок могут меняться от + 1 (ранжировочные ряды совпадают) до •—1 (отсутствие корреля­ ции).

Значимость коэффициента ранговой корреляции оце­ нивается с помощью таблицы распределения частот для 5 при п = 4н-10 (приложение V). Распределение при п > 1 0 стремится к нормальному распределению со стан­ дартом отклонения

Пользоваться приложением V следует при отсутствии связанных рангов, в противном случае оценка значимо­

ный характер согласованности ранжировок не отверга­ ется с надежностью 98%.

Если п > 10 (например, получили при п =11 значение р = 0,45), то вычисляется стандарт отклонения

затем отношение

z = — 0,45/0,316=1,42

и вероятность согласованности ранжировок считывается из приложения VI (при z=l,42 получаем Р = 0,92). (См.

также [5, 6].)

МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОТСЕИВАНИЯ ФАКТОРОВ

Метод случайного баланса. Если к началу экспери­ мента число факторов 8-ь-10, применяют факторный эксперимент с небольшим числом опытов и варьировани­ ем переменных на двух уровнях.

30

Число строк-опытов матрицы планирования N~^n-\- + 1 и кратно 8. Например, для 10 факторов ставится 16 опытов. Матрица планирования представляет собой одну из случайных выборок из полного факторного эк­ сперимента. Поскольку N меньше числа всех .коэффици­ ентов регрессии, совместные оценки коэффициентов оказываются смешанными некоторым случайным об­

разом.

Практика показывает, что с помощью таких мат­ риц и специальных алгоритмов обработки результатов эксперимента удается выделить доминирующие факторы среди очень большого числа факторов и взаимодействий, взятых под подозрение. Отделение факторов произво­ дится с помощью построения диаграмм рассеяния и не­ сложных, но достаточно трудоемких и рутинных матема­ тических вычислений. Поэтому для обработки результа­ тов рекомендуется применять ЭЦВМ и так называемый

алгоритм ветвящейся стратегии [9].

Для практического овладения методом случайного баланса рекомендуется литература [3, 10— 17].

Наряду с методами случайного баланса и пассивно­ активного эксперимента получили распространение для выделения значимых факторов методы дисперсионного анализа и комбинаторного анализа.

С помощью дисперсионного анализа значимость фак­ тора оценивается по его вкладу в дисперсию параметра оптимизации. Интересным примером анализа влияния неоднородности условий плавки-литья и условий прес­ сования профилей из алюминиевых сплавов на свойства полуфабрикатов является работа М. Н. Степнова [19].

читатель найдет в работах [20—24].

Приемы комбинаторного анализа: латинские и гре­ ческие квадраты, прямоугольники, кубы, сочетания гре­ ческих и латинских квадратов и прямоугольников и другие используются для отсеивания в задачах с боль­

шим числом качественных факторов [1, 20, 25—29, 79,80].

Пассивно-активный метод эксперимента [18]. В ус­ ловиях производства иногда возможно накапливать дан­ ные результатов испытаний у и соответствующих им ус­ ловий (факторов) производства х,. Часто такой матери­ ал можно найти в технической документации, отчетах.

31

По существу ои представляет собой данные пассивного эксперимента.

Чтобы применить к его обработке простые методы ак­ тивного эксперимента (описаны в гл. III), квантуют уровни факторов:

исходная таблица данных аналогична представленной на стр. 13.

Для каждого фактора Х{ находится средняя арифме­

тическая Х{.

затем значения х* преобразуются:

вместо х,- пишется

Далее применяется техника метода случайного балан­ са или выделяется, если возможно, из полученной таб­ лицы ортогональная матрица, для которой расчет моде­ ли производится без сложных вычислений. Практика по­ казала возможность уверенного выделения сильных эф­ фектов с помощью описанного метода.

Глава III

ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ С ПОМОЩЬЮ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

В этой главе на материалах исследований производ­ ства биметаллов, микросварки, обработки металлов дав­ лением и других рассмотрено математическое планиро­ вание эксперимента при поиске оптимальных режиицв, в том числе полный и дробный факторный эксперимент, движение в область оптимума, исследование области оптимума с помощью планов второго порядка.

Применение планирования опытов позволило по срав­ нению с традиционными приемами технологических ис­ следований:

сократить сроки и затраты на эксперимент, в некото­ рых случаях выполнять опытные работы на производст­

32

венном оборудовании, а также экономно расходовать до­ рогой материал опытных изделий;

получить уравнение-модель для управления процес­ сом и выбора оптимальных .условий обработки мате­

риала; оптимизировать процесс обработки, не располагая

знанием его «механизма».

ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ

ЭКСПЕРИМЕНТ ТИПА 2"

Факторные планы эксперимента, рассмотренные в этом параграфе, являются симметричными относительно центра эксперимента и ортогональными; факторы варь­ ируются на двух уровнях (+ 1 и — 1 );

выполняется условие нормировки

£ X I = N.

и= 1

Поскольку по формуле кодирования

переменные Xi равны + 1 , или — 1 , часто цифру 1 опус­ кают и матрица планирования состоит из N строк с со­ четаниями знаков (+ ) и (—). Например, для двух фак­ торов матрица планирования имеет вид табл. 3.

Т а б л и ц а 3

Матрица плана 22

Проверка условия ортогональности, например, для

столбцов Х\ и Х 2 \

N

£ хих2и= ( - и .•( - 1) + (+ 1).. ( - и + ( - и .. (+ о +

Н =1

ОПТИМИЗАЦИЯ ВОЛОЧЕНИЯ и отжигов БИМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПРОВОЛОКИ МЕДЬ+СЕРЕБРО (ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ТИПА 23)*

Общая постановка задачи и априорное ранжирование факторов этого исследования описаны в гл. II. На осно­ вании диаграммы рангов исследовали влияние суммар­ ной вытяжки между отжигами X (фактор x t) , температуры 0, °С промежуточного отжига (фактор х2) и длитель-

Рис. 4. Распределение средней толщины h (/) и разнотолщиипостн <7 (2) по длине прессованного прутка

ности отжига т (фактор х'з) на отношение М коэффи­ циентов вариации толщины серебряной оболочки прово­ локи диаметром 0,8 мм и исходного прессованного прут­ ка диаметром 12 мм (параметр оптимизации у).

На рис. 4 представлено распределение средней тол­ щины и коэффициента вариации q толщины оболочки по длине одного из двух исходных прутков. Поскольку q изменяется в некоторых пределах, в качестве параметра оптимизации приняли именно М а не q проволоки. Ти­ пичное распределение толщины оболочки по окружности иллюстрируют рис. 2 и 5. Уровни и интервалы варьиро­ вания факторов представлены в табл. 5, матрица плани­ рования 2 3, результаты измерений и расчетов по полу­ ченной модели — в табл. 6.

* Выполнено совместно с аспирантом Ю. А. Воропаевым.

37

Толщина ofo/мчки tl, MKM

Phc. 5. Распределение толщины серебряного слоя по периметру поперечного сечения

Уравнение-модель процесса, которая строится при планировании 23, имеет видУ

38

b0, b\, ...— неизвестные коэффициенты модели. Модель позволяет раздельно оценить не только влия­

ние каждого фактора, но и влияние парных взаимодей­ ствий факторов, а также влияние тройного взаимодейст­ вия Хи Х2, Х2.

Построение модели и проверка ее адекватности опыт­ ным данным производится по стандартным формулам планирования 2 ":

1 . П р о в е р к а в о с п р о и з в о д и м о с т и — проверя­ ется гипотеза об однородности выборочных дисперсий:

что возможно сделать, если каждый опыт матрицы дуб­ лируется с раз ( с > 1 ).

Оценка дисперсии ц-того опыта:

С

/=1

с v = c — 1 степеней свободы.

Оценка однородности дисперсий s2{yu} с помощью критерия (Зщах Кохрена, который вычисляется по фор­ муле

п_ шах $2 {//„}

-max — N

S s» {Уи]

и=1

39