книги из ГПНТБ / Мастеров, В. А. Практика статистического планирования эксперимента в технологии биметаллов

экономия времени и расходов на исследования, что особенно важно в производственных условиях, при иссле* довании производства дорогостоящих материалов.

В рассмотренных ниже задачах математического пла­ нирования эксперимента широко применяют методы мно­ гомерной математической статистики, особенно регрес­

сионный анализ.

КОНСПЕКТ ТЕОРИИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Пусть рассматриваемый результат у технологического процесса по мнению технолога связан с влиянием п не­ зависимых переменных (факторов) Х\, х2,...,хп:

Поскольку вид функции отклика (2) технологу не из­ вестен, (2) приближенно заменяется полиномом — отрез­ ком ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция отклика г/(**):

На практике возможна зависимость у также от дру­ гих факторов Xn+i, хп+2,—, неизвестных технологу или априорно признанных несущественными. Практически неизбежны погрешности измерения у, задания факторов Х\, х2,..., неконтролируемые изменения факторов хп+\, *п+2, в ходе опытов. По этим причинам измеряемые ре­

зультаты у параллельных опытов являются случайными величинами, оценивающими у. Соответственно определя­ емые расчетом параметры bQ, Ь£, b£j,... также являются случайными величинами — оценками параметров р0, Рг,

Р «,- и

10

Для построения модели типа (3) и оценки ее истин­ ности используется регрессионный анализ. Поэтому урав­ нение (3) называют уравнением регрессии. Доказано, что наилучшие оценки параметров |30, Pi, Pij,... обеспечивает

метод наименьших квадратов. Термин «нанлучшие оцен­ ки параметров Pi» означает:

несмещенность: оценки bi несмещенные, если их ма­ тематические ожидания равны истинным значениям па­ раметров:

М(Ьд = Рь

состоятельность: оценки bi состоятельны, если они сходятся по вероятностям к истинным значениям пара­ метров:

lim Р [|Ь, — р,| > е] = 0, е > 0;

ДГ-*-оо

Эффективность: несмещенные оценки bi эффективны, если так называемая дисперсионная матрица оценок па­ раметров меньше или равна дисперсионной матрице лю­ бых других оценок параметров.

Отметим, что в качестве Xi могут быть использованы непосредственно технологические факторы (например, температура Т) или функции этих факторов (например, обратная температура Г-1 и др).

Для построения модели (3) проводится пассивный

или активный факторный эксперимент.

В активном эксперименте технолог работает одновре­ менно со всеми переменными хг-, задавая их значения в каждом опыте по заранее назначенному плану — мат­ рице планирования. Одновременное варьирование всеми факторами позволяет резко уменьшить число опытов, со­ кратить сроки и стоимость исследований. Особенно эф­ фективен активный эксперимент в многофакторных ис­ следованиях.

При пассивном эксперименте технолог не вмешивает­ ся в процесс, а только записывает значения всех Xi и со­ ответствующих им у. Близка к такой методике распро­ страненная практика варьирования факторов по очереди, остальные факторы при этом не варьируются, пока не за­ кончится перебор всех уровней одного фактора. В обоих случаях приходится ставить много опытов. В многофак­ торных задачах неизбежны сложные расчеты на ЭЦВМ и все-таки получаемые уравнения регрессии (как прави­ ло, линейные относительно Xi) нередко работают плохо.

11

По мнению В. В. Налнмова [1], это связано с влиянием неконтролируемых переменных, которое приводит к сме­ щению оценок параметров Ь{.

ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

1. Входные переменные хь х2,.... хп задаются с пре­ небрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой оп­ ределения у.

2. При повторении с раз опытов в одной точке фактор­ ного пространства (,v,) (все х,- фиксированы) получаем выборку независимых нормально распределенных слу­ чайных значений отклика у\, г/2,... ус с параметрами рас­

пределения (г/, а2{*/}).

3. В исследуемом объеме факторного пространства дис­ персия а2{у) не зависит от координат:

s2 {#1 } = s2 [у2] = •••= s2 {^ ) = а2 {у}.

4.Каждый из Xi не является линейной комбинацией ос­ тальных входных переменных.

5.Погрешность задания каждого Xi меньше интервала

варьирования Дяу от опыта к опыту.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть измерен отклик у в 1,2,..., и,..., N точках фак­ торного пространства (х;), £=1,2,..., п. Натуральные зна­ чения координат Xi для дальнейших расчетов заменим кодированными значениями Xi нулевой размерности:

Составим таблицу условий и результатов факторного эк­

12

л

Составим сумму квадратов отклонений расчетных уи от опытных уи по всем N опытам:

ф = £ \Уи— Уи\2-

и=1

Наилучшие оценки параметров bi соответствуют ми­ нимуму этой суммы квадратов и находятся из условия

Выражение (5) представляет собой так называемую

систему нормальных уравнений Гаусса. Каждое из

(п-f-l) этих уравнений линейно относительно неизвест­ ных параметров Ъс

+ х . А , + - - +

иI'M

ии

+ 1 > л х ы х „ , = г х иУ „

ии

13

+ ь £ К . - Ъ х „ > .

Согласно теореме Крамера, система (6) имеет един­ ственное решение Ь0, Ьп, если ее определитель А не равен нулю:

Соответствующая определителю А матрица называ­ ется информационной матрицей.

Напомним формулы Крамера решения системы (6) с помощью определителей:

где Ai — определитель, получаемый из А заменой t-того

столбца столбцом свободных членов системы уравнений

(6):

ки bi в общем случае не являются взаимонезависимыми.

14

Независимые оценки bi возможны только в том слу­ чае, когда система (6) распадается на (я+1) уравнений, каждое из которых содержит только один неизвестный параметр bi. Нетрудно убедиться, что это условие реали­ зуется, если в каждом уравнении суммы попарных произ­ ведений XiuXjи в левой части будут равны нулю, т. е.

U=l1

В этом случае матрицу планирования называют ортогональной. Соответствующая ей информационная матрица становится диагональной:

15

и оценки bi распределены нормально с центром распре­ деления (3;, а дисперсия оценки bi равна:

2 4,

и= 1

Если переменные кодированы, как указано выше (minХ{ = — 1, max^i== + l) и количество уровней выше и ниже основного уровня Х г= 0 одинаковы, то оценка b t еще больше упрощается:

N

( 10)

и=1

а дисперсия s2{6,} не зависит от номера i

л

По закону накопления ошибок дисперсия s2{y} рас­ четных значений функции отклика (4)

з2 [у} = s* [Ь(} ■(1 + X 2 + Х\ + ■■•+ X I) = s- ^ i (1 + г \

довательно ошибка прогноза у зависит только от длины радиуса г, а не от его направления в факторном прост­ ранстве. Это свойство матрицы планирования называют

ротатабельностыо.

анализа, указанные на стр. 12; симметричность плана относительно центра экспери­

т. е. сумма элементов Хы любого столбца матрицы пла­ нирования равна нулю;

16

которое сравнивается с табличным значением критерия Фишера EVi.v.a для выбранного уровня значимости а.

Если критическое значение Е из приложения I не мень­ ше Е0, утверждается, что в исследованных интервалах переменных зависимость у от х* не описывается получен­ ным уравнением регрессии. Если Егс:Е0 и число точек N больше числа коэффициентов следует попытаться рас­ считать уравнение второго порядка относительно выб­ ранных факторов, вычислить для него дисперсию s^no

формуле (15), отношение F\=s\!s\ и проверить его зна­

чимость по Е-критерию. Если окажется, что Е^Етабл, то в качестве модели процесса принимается предпослед­ няя модель.

Во втором варианте представляется возможным оце­ нить значимость отдельных коэффициентов регрессии и адекватность модели. Если матрица планирования ор­ тогональна, то доверительный интервал А6,- устанавлива­ ется для каждого коэффициента в отдельности:

с v = N —1;

а — уровень значимости (см. приложение II).

Если |A&i|>|6j|, коэффициент bi признается незна­ чимым (вычеркивается из уравнения регрессии). Если матрица планирования не ортогональна, то доверитель­ ные границы i-того коэффициента, как и численные зна­ чения других коэффициентов, взаимосвязаны и необхо­ дим последовательный статистический анализ (подроб­ нее см. [3]).

Для проверки адекватности уравнения регрессии со­ поставляется дисперсия неадекватности s2A[формула

(15)] с дисперсией воспроизводимости э2{г/}:

18