книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

А. Н. ДЬЯЧЕНКО, В. С. ИЛЬИЧЕВ

ОДОБРЕНО Редсоветом СЗПИ

22 апреля 1974 г.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

ЛЕНИНГРАД

1974

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Общая редакция А. А. Потапенко

© Издание Северо-Западного заочного политехнического института

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для студентовзаочников и вечерников всех специальностей, изучающих курс высшей математики в объеме программы, утвержден­ ной Министерством высшего и среднего специального об-

'разования СССР, и является продолжением четырех учеб­ ных пособий по курсу высшей математики, изданных в СЗПИ в 1972— 1973 гг.

Книга состоит из двух разделов. Раздел I «Интеграль­ ное исчисление функций нескольких переменных» написан А. Н. Дьяченко; раздел II «Теория вероятностей и эле­ менты математической статистики» написан В. С. Ильиче­ вым.

При составлении пособия авторы стремились изложить предмет достаточно просто и наглядно и не только ознако­ мить студентов с математическим аппаратом, но и показать, как возникают и применяются абстрактные математические понятия при решении конкретных технических, физиче­ ских и геометрических задач, как строятся математические модели реальных явлений. Пособие содержит большое ко­ личество примеров, систематический разбор которых не­ обходим для приобретения навыков применения матема­ тического аппарата.

Предполагается, что читатель знаком с материалом предыдущих разделов курса. Ссылки по вопросам, отно­ сящимся к этим разделам, делаются в основном на следую­ щие, изданные в СЗПИ учебные пособия:

1.С. И. И т е н б е р г, Л. А. К а л ь н и ц к и й. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоско­ сти. Введение в анализ. Изд-е СЗПИ, Л., 1973 [1].

2.С. И. И т е н б е р г, Л. А. К а л ь н и ц к и й . Дифференциальное и интегральное исчисление функций: одной переменной. Изд-е СЗПИ, Л., 1973 [2].

Р а з д е л I

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Г л а в а 1

'ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1. Основные понятия и определения

Интегральная сумма. Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана функция f (х, у). Разобьем область D каким-либо спо­ собом на п частей, не имеющих общих внутренних точек, D x, D 2, . . .

Dn, которые будем называть ч а с т и ч н ы м и о б л а с т я м и , соответствующими данному разбиению области D. Площади частич­ ных областей обозначим соответственно As1( As2, . . . , Asn.

вычислим произведения этих значений на площади соответствую­ щих частичных областей и составим сумму этих произведений:

Выражение вида (1.1) называется интегральной суммой для функции / (х, у) в области D, соответствующей данному разбиению области и данному способу выбора точек Pk (xk, yk).

Заметим, что для заданной функции, заданной области и фикси­ рованного числа п можно построить бесконечное множество интег­ ральных сумм: значение величины vn может зависеть от способа разбиения области D на п частей и от выбора точек Pk в частичных областях.

Определение двойного интеграла. Рассмотрим некоторое раз­ биение (дробление) области D на п частей. Каждой частичной об­ ласти Dk можно поставить в соответствие число dk — наибольшее из всевозможных расстояний между точками области Dk. Это число называется д и а м е т р о м частичной области Dk и Характери­ зует ее протяженность. Из всех чисел dx, d2, . . . , dk, соответст­ вующих данному дроблению области, выберем наибольшее число, которое обозначим Кп, таким образом,

Яя = тах{<4}, (& =1, 2, . . . , п).

5

Итак, каждому разбиению области D на п частей соответствует

мятся к нулю диаметры всех частичных областей, т. е. уменьша­ ется протяженность каждой частичной области.

Из множества интегральных сумм, которые можно получить для функции f (х, у) в области D (как было отмечено, это множество бесконечное), составим всевозможные последовательности интег­ ральных сумм, у которых соответствующие последовательности рангов дробления Хп стремятся к нулю. Если у каждой из этих последовательностей существует конечный предел и эти пределы равны (т. е. не зависят ни от способа дробления области, ни от вы­ бора точек Pk (xk, yk), то этот общий предел и называется двойным интегралом от функции / (х, у) по области D.

Определение. Если при стремлении к нулю ранга дробления об­ ласти существует конечный предел интегральной суммы

П

2 / {%k’ Ук) ,

k—1

не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pk (xk, yk), то этот предел называется двойным ин­ тегралом от функции f (х, у) по области D и обозначается

Замечание 1. При рассмотрении равенства (1.2) может сложиться впе­ чатление, что его правая часть зависит от п. Однако такое впечатление было бы ошибочным, так как условие %п —> 0 можно обеспечить только

Замечание 2. Ошибкой было бы заменить под знаком предела в равен­ стве (1.2) Хп -> 0 условием я т* оо, так как можно составить такую последовательность разбиений области, для которой я —> оо, но %п не стремится к нулю. Приведем два примера таких последовательно­ стей разбиений.

1. Пусть область D — квадрат со стороной а, а разбиение будем осуществлять только прямыми, параллельными одной из сторон квад­ рата. Тогда при любом п Хп ^>а и при п —* оо Хп не стремится к нулю

(рис. 1, а).

2. Рассмотрим такую последовательность разбиений произволь­ ной области D, чтобы п - > м и чтобы при каждом разбиении одной из частичных областей являлась бы некоторая заранее фиксированная

6

часть области D, которую обозначим D0. Пусть d0 — диаметр D0. Тогда для любого п Хп > d0 (рис. 1, б) и последовательность Хп не стремится к нулю.

Сопоставление определений двойного и определенного интегра­ лов. Сравнение определения двойного интеграла с рассмотренным ранее определением определенного интеграла * позволит глубже понять оба определения и выявить общие принципы введения по­ нятия интеграла, которые будут использованы в дальнейшем при построении тройных и криволинейных интегралов. Обозначим циф­ рой I определение определенного интеграла, а цифрой II — опреде­ ление двойного интеграла. Сформулируем оба определения в обоб­ щенных выражениях и поясним, как эту формулировку следует

области и ее протяженность характеризуется одним и тем же

извольную точку Pk, вычислим значения заданной функции во всех выбранных точках, умножим каждое из этих значений на меру Аmk частичной области, которой принадлежит выбранная точка, и все полученные произведения сложим. Полученное число назовем ин-

См. [2], § 6.1.

7

способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pk, то

Таким образом, мы установили некоторую аналогию между оп­ ределениями I и II. Ее следствием является аналогия между мно­ гими свойствами двойных и определенных интегралов. В дальней­ шем показано, что эта аналогия распространяется и на другие виды интегралов.

Отметим общие принципы построения понятия интеграла от произвольной функции по произвольной области интегрирования. При построении понятия интеграла необходимо выполнить следую­ щие операции:

1)разбить область на части произвольным способом;

2)произвольным способом выбрать точки в частичных областях;

3)составить интегральную сумму;

4)найти предел интегральной суммы при стремлении к нулю ранга дробления области.

Вдальнейшем придется несколько раз выполнять эти операции при построении различных видов интегралов.

Теорема существования. Вопрос о существовании двойного ин­ теграла связан с вопросом существования предела интегральной суммы (это следует из определения двойного интеграла). Выяснение всех случаев существования этого предела требует исследования, которое выходит за рамки курса, излагаемого в настоящем посо­ бии. Ограничимся тем, что сформулируем без доказательства тео­ рему, указывающую довольно широкий класс функций, для кото­ рых двойной интеграл существует.

Теорема. Если функция f (х, у) непрерывна в замкнутой области

D, то существует двойной интеграл от этой функции по области D.

Заметим, что аналогичная теорема справедлива и для опреде­ ленных интегралов. Функция / (х, у), для которой существует двой­ ной интеграл по области D, называется интегрируемой в этой об­ ласти.

Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть в замкнутой области D задана непрерывная положительная функция f (х, у). Рассмотрим тело, ограниченное следующими поверхностями:

8

в) цилиндрической поверхностью, направляющей которой яв­ ляется граница области D, а образующая параллельна оси г.

Такое тело будем называть цилиндроидом, образованным функ­ цией / (х, у) на области D. Обозначим это тело V, а объем его — v

Рис. 2

(рис.. 2). Разобьем область D на п частей. Через границу каждой элементарной области Dk проведем цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси z. Тогда рассматриваемое тело V окажется разбитым на п частичных тел—цилиндроидов, постро­

ражение имеет следующее геометрическое толкование: оно равно объему цилиндра, основание которого Dk (с площадью Ask) и вы­ сота mk. Этот цилиндр вписан в цилиндроид V* (рис. 3). Анало­ гично, выражение MkAsk равно объему цилиндра, описанного около цилиндроида Vk. Таким образом, имеем следующее соотно­

шение:

mkAsk< vk< MkAsk.

9