книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Правило трех а. Вычислим вероятность выполнения неравенства |£ — т\>>3а. С этой целью найдем вероятность противополож­ ного события |£—т { > З о.

Р(\Ъ— яг|<За) = 2Ф (3) — 1.

По табл. I приложения находим Ф (3) = 0,9986; откуда

Р ( 11— т |-< За) = 0,9972.

Воспользовавшись тем, что сумма вероятностей противополож­ ных событий равна единице, находим:

Р ( | т |>3<т) = 1 — Р ( 11—т |< 3о) = 0,0028.

Таким образом, вероятность значений случайной величины, отличающихся от т больше, чем на За, очень мала. Этот факт исполь­ зуют при грубой оценке параметров нормального закона по пра­ вилу, которое называется правилом За. Состоит оно в следующем. Пусть в результате я опытов наблюдаются значения случайной ве­

ляется осью симметрии кривой распределения нормального закона):

5.6. Многомерные случайные величины (случайные векторы)

Системы случайных величин. При изучении некоторых явлений необходимо одновременно рассматривать несколько случайных ве­ личин, например: а) размеры детали и заготовки; б) диаметры по­ ступивших на сборку болта и гайки; в) абсциссу и ординату точки разрыва снаряда; г) проекции на координатные оси скорости ча­ стицы примеси, распространяющейся в водоеме; д) частоту и ам­ плитуду сигнала в приемнике, и т. п.

Известно, что упорядоченный набор п чисел можно рассматри­ вать как координаты n-мерного вектора или координаты точки в я-мерном пространстве. Поэтому о системе случайных величин (Ij, |2, . . . , §„) удобно говорить как о координатах случайного вектора г или случайной точки М.

Совместная функция распределения. Закон распределения я- мерного случайного вектора (т. е. соотношение, связывающее его

120

возможные значения с их вероятностями) может быть задан функ­ цией:

или совместной функцией распределения координат случайного вектора г (точки М). Значение этой функции в точке (хг, х 2, . . . , хп) равно вероятности одновременного выполнения п неравенств:

В дальнейшем, для упрощения изложения, будем говорить только о системе двух случайных величин (с, г]), которую можно рассматривать либо как случайный вектор г (|, г|), либо как слу-

Р и с. 54

чайную точку М (%, г]) плоскости. Однако все, о чем будет гово­ риться, легко может быть переформулировано на случай произволь­ ного п.

Совместная функция распределения системы двух случайных

Значение функции распределения в точке N (х, у) равно веро­ ятности того, что случайная точка М (£, г]) в результате испытания окажется на плоскости левее и ниже точки N (х, у), т. е. в заштри­ хованной части плоскости (рис. 53).

С помощью функции распределения можно вычислить вероят­

можно представить в виде суммы событий:

А = { х У 1 < Ц < У 2 } ‘, В = { 1 < х1; т]< //2} и С = { 1 < х 2\ г)<ух}.

121

чрое— наклонными). Поэтому

F(x2, у2) = Р ( А + В + С) = Р(А) + Р (В +С ) =

= Р [х1К 1 < х 2] г/1< т]< г/2} + Р ( В + С),

откуда

У1 <и\<У*} = Р(хл, У2)— Р(В + С). (5.38)

Для нахождения вероятности суммы событий А и С применим общую теорему сложения вероятностей:

Р (В + С) = Р (В) + Р (С) — Р (ВС).

Замечая, что ВС = {^ < х 1; г|<Сг/х}, находим:

Подставляя найденное выражение в (5.38), окончательно полу­

Нетрудно проверить, что если существует непрерывная смешан­ ная частная производная второго порядка от совместной функции распределения

где двойной интеграл берется по прямоугольнику N^N^L, (рис. 54). Действительно, Вычислим интеграл в правой части (5.41), ин­

тегрируя сначала по у, а затем по х

xl щ

Подставим вместо функции f (x, у) ее выражение из (5.40). Вы­ числим внутренний интеграл

у%

122

то подставляя (5.44) в (5.43) и сравнив результат с (5.39), убеж­ даемся в справедливости (5.41).

Функция f (х, у), определяемая формулой (5.40), называется плотностью вероятности случайного вектора г (|, т)) или совмест­ ной плотностью вероятности случайных величин \ и тр Закон рас­ пределения случайного вектора (точки, системы случайных вели­ чин) может быть задан совместной плотностью вероятности. Зная плотность вероятности f (х, у), можно вычислить вероятность по­ падания случайной точки М (£, р) в любую область плоскости D. Действительно, пусть f (х, у) непрерывна в области D. Тогда из (5.41) и теоремы о среднем для двойного интеграла следует, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем

Отметим некоторые свойства совместной функции распределе­ ния и совместной плотности вероятности системы случайных ве­ личин:

1. Совместная функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

F (х1 , y)^CF(x2, у) при д С х а

и

F(x, yi)<F(x, у2) при д < г / 2.

123

2. Совместная плотность вероятности неотрицательна: f (х, у) + 0

Двумерный нормальный закон. Говорят, что случайный вектор г (|, tj) распределен по двумерному нормальному закону, если сов­ местная плотность вероятности его координат Л определяется формулой

__ i_ Г(*-а)а—2k (х—а) (у—Ь) + (.у—Ь)а

2 (1- Щ

где а, Ь, а ь а 2, k — постоянные параметры.

Многомерный закон равномерной плотности. Совместная плот­ ность вероятности двух случайных величин (|, т]), распределенных по закону равномерной плотности, определяется формулой

f(x, у) = 1 Sd >если

{ 0, если (х, у) £ D,

где 8' D — площадь области D.

Если случайный вектор г (|, г]) распределен по закону равно­ мерной плотности, то вероятности событий {(|, т]) + А }, где AdD могут быть найдены из геометрического определения вероятностей.

Дискретные многомерные случайные величины. Если коорди­

распределения такого случайного вектора можно задать, указав вероятность рц для каждого возможного значения Тц, т. е.

Такой закон распределения может быть задан, например, табли­ цей с двумя входами:

124

На пересечении г-й строки и /-го столбца записывается вероят­ ность р1}того, что случайный вектор примет значение ги. Возможно, что некоторые из вероятностей рц окажутся равными нулю. Это означает, что одновременно два равенства | = xt и ц = г/у не могут осуществиться. Очевидно, также, что

pm п

£=1 /= 1

так как вектор г достоверно примет одно из своих возможных зна­ чений. :

5.7. Частные и условные законы распределения координат случайного вектора. Независимость случайных величин

Связь между законами распределения координат случайного вектора и их совместным законом распределения. Зная закон рас­ пределения случайного вектора (системы случайных величин), можно найти вероятность распределения каждой его координаты. Если закон распределения координаты случайного вектора опреде­ ляет вероятности ее значений без каких-либо дополнительных пред­ положений о значении другой координаты, он называется частным законом распределения. В тех случаях, когда закон распределе­ ния определяет вероятность значений одной координаты в пред­ положении, что другая координата принимает то или иное опре­ деленное значение, он называется условным законом распреде­ ления.

125

Покажем сначала, как находятся частный и условный законы распределения координаты по совместному закону распределения в случае, когда координаты случайного вектора принимают дискрет­ ные значения. Обозначим р\ — Р (g = х;), p"t = Р (р =y.'j . Обо­

значим через В событие + = yj) и через Hi событие {£, = хг-} и замечая, что BHt = {£ = xh р = z/y), найдем по формуле полной вероятности (4.42) вероятность события В:

/=i

Воспользовавшись формулой Байеса, найдем условную вероят­ ность события {£ = х,} при условии, что произошло событие {т] =

Частные функции распределения и частные плотности вероят­ ности координат случайного вектора. Пусть теперь закон распреде­ ления случайного вектора г (£, ц) задан совместной плотностью ве­ роятности f (х, у). Выразим через / (х, у) функции распределения Ft (х), F2 (у) и плотности вероятности / х (х), / 2 (у) частных законов распределения случайных величин § и т). По определению (см. § 5.3) функция распределения F± (х) случайной величины £ равна веро­ ятности события (| < х ), которое в случае двумерной случайной величины (£, т]) геометрически означает попадание случайной точки М (£, т]) в полуплоскость D, лежащую левее прямой LN (рис. 55):

Fi ( x) = P ( l < x ) = P((l, t])£D).

126

Плотность вероятности случайной величины £ равна производ­ ной от ее функции распределения. Поэтому

Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом х по х равна подинтегральной функции,* ввиду чего по­ лучаем:

— ОС

Таким же образом находятся частная функция распределения Р 2 (у) и частная плотность вероятности / 2 (у) случайной величины тр

Р+00

Fa(y)= J dy j f(x, у) dx\

— OO — OO

(5.58) h( y )= + Jo o fix, y) dx. (5.59)

- —CO

Принимая во внимание (5.47), из, соотношений (5.56) и (5.58) можно получить формулы, вы­ ражающие частные функции распределения случайных вели­ чин через их совместную функ­ цию распределения:

F1(x) = F(x, + со);

FAy) = F ( + оо, у). (5.60)

Условные законы распределения. Предполагая, что совместная плотность вероятности f (х, у) непрерывна по обеим переменным, установим связь между этой функцией и условными законами рас­ пределения случайных величин \ и г]. С этой целью рассмотрим со­ бытия А = { £ < х } и В = {у < Т1 <г/+Дг/}. Геометрически собы­ тие Л означает попадание случайной точки М (£, rj) левее прямой LN (на рис. 55, соответствующая полуплоскость заштрихована косыми линиями). Событие В состоит в попадании случайной точки М (£, г]) в полосу шириной А, расположенную между прямыми KR и ST, или на прямую ST (на рисунке соответствующая область заштри­ хована вертикальными линиями). Событие АВ заключается в по­ падании точки М в общую часть этих областей.

Зная f (х, у), вероятности событий А и АВ, можно вычислить по формуле (5.46). Найдем вероятность события В:

127

Двойной интеграл вычисляется по полосе, расположенной ме­ жду прямыми КR и ST. Интегрируя сначала по у, а затем по х, преобразуем это выражение следующим образом:

—ОО Уо

Применяя теорему о среднем к внутреннему интегралу, получим:

Рассуждая так же, как выше, можно преобразовать это выра­ жение к виду

Р{А1В) = РЦ < х 1 у < т [< у + Ьу) = ? Ш - .

Р (а)

Следовательно, ввиду (5.64) и (5.65)

128

Очевидно, эта вероятность является функцией трех переменных: x, у и А.у (от Ау зависят а и |3). Предел этой функции при Ау -^0 называется условной функцией распределения случайной величины

J / (х, у) dx

—00

Производная по переменной х условной функции распределения F1 (х/у) случайной величины £ называется у с л о в н о й п л о т ­ н о с т ь ю в е р о я т н о с т и с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы | при условии, что случайная величина ^ равна у. Условная плот­ ность вероятности обозначается h (х/у). Дифференцируя (5.67) по х (в правой части от х зависит только верхний предел интеграла, стоящего в числителе) находим:

ной величины г] при условии, что случайная величина | приняла значение, равное х. Можно показать, что эти функции выражаются через совместную плотность вероятности по формулам:

у

f f(x, y)dy

129