книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

CB -f- СВ — деталь бракованная, но ей присущ только один тип

Исход каждого опыта определяется всеми событиями поля, ко­ торые наблюдаются в результате этого опыта. Два исхода нераз­ личимы, если в каждом из них наблюдаются одни и те же события.

Определение 2. Произведение всех событий поля F, наблюдаю­

щихся в результате исхода единичного опыта, называется элементар­ ным событием, соответствующим этому исходу.

В результате каждого опыта осуществляется одно элементарное событие, являющееся частным случаем всех событий поля, проис­ ходящих одновременно с ним.

Отметим следующие свойства элементарных событий:

1)различные элементарные события несовместны;

2)каждое событие A =F Л поля F можно представить в виде суммы элементарных событий этого поля, являющихся частными случаями события А:

А = U Ei, E id А.

i

В примере 6 элементарными являются события: А — деталь стандартная; ВС — деталь изготовлена хорошо, но из плохого ма­ териала; ВС — деталь изготовлена плохо, но из хорошего материала; ВС —■детали присущи оба типа брака. Любое событие поля яв­ ляется суммой некоторых из перечисленных событий. Так, напри­

мер, В = ВС + ВС.

В примере 2, где рассматривается тираж спортлото, элементар­ ными событиями являются события Л,- (угадано i номеров i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6).

В примере 4 (обслуживание двух станков) элементарными со­ бытиями являются пары неотрицательных чисел (х, у), гдех — мо­ мент, когда требуется, чтобы рабочий обслужил первый станок; у — такой же момент для второго станка.

Множество всех элементарных событий,, отвечающих данному опыту, называют п р о с т р а н с т в о м э л е м е н т а р н ы х с о б ы т и й . Будем обозначать пространство элементарных со­ бытий буквой Q. Событиям поля F можно дать наглядную Геомет­ рическую интерпретацию, например, изобразив каждое элементар­ ное событие точкой (рис. 35). Каждое событие А О F изобразится при этом множеством точек, соответствующих тем элементарным событиям, которые являются частными случаями А. Достоверному событию при таком рассмотрении отвечает все пространство эле­

ментарных событий £2, т. е. все точки. Событие А, противополож­

80

ное событию А, изобразится множеством точек, не входящих в А (множеством, дополнительным к А в Q). Событию A -{- В отвечает множество тех точек, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В, либо каждому из этих множеств (объединение мно­ жеств А и В). Произведение событий АВ изображается множеством точек, принадлежащих как мно­ жеству А, так и множеству В (пересечением множеств А и В).

На рис. 36 изображено про­ странство элементарных собы­ тий, соответствующее примеру 5 (бросание игрального кубика). Элементарными событиями («точ­ ками» множества П) в этом при­

ней грани выпало четное число очков — состоит из точек С2, С4, С6; событие В — число выпавших очков кратно трем — состоит из точек С3 и С0. Событие А + В (обведено пунктирной линией) состоит из точек Со, Со, Са , С„; событие АВ (обведено жирной линией) — из точки

Св — единственной общей точки множеств А и В. Множество А состоит из точек Си С3 и СБ.

На рис. 37 изображено пространство П элементарных событий, соответствующих примеру 4. По оси Ох откладывается момент, когда потребовалось обслуживание первого станка, по оси Оу — аналогичный момент для второго станка. Пространство элементар­ ных событий Q изображается точками первого координатного угла,, событие А = [х^>у\ — второй станок потребовалось обслужить, раньше чем первый — изображается точками, лежащими под бис­

сектрисой этого угла; событие А = {.£<;«/} — точками на биссек-

трисе и выше; событие В = {х>-40 мин) — первый станок потре­ бовалось обслужить позже чем через 40 минут — изображается точками, лежащими правее прямой х = 40; событию АВ соответст­ вуют точки заштрихованной области.

На рис. 38 изображено пространство й элементарных событий примера 6 и события В, С, А + В , А-\-С, В + С. Элементарными

событиями в этом примере являются события А, ВС, ВС, ВС.

Пример 7. В течение промежутка [0,Т] радист принимает сигналы от двух

корреспондентов. Если разность по времени между сигналами будет меньше т, приемник будет забит и сеанс связи сорван. Обозначим это событие А. Обозначим момент поступления первого сигнала через х, а момент поступления второго сигнала через у. Будем обозначать раз-

Р и с . 38 Р и с . 39

личные варианты поступления сигналов точками плоскости хОу. Каж­ дая точка изображает элементарное событие. Все пространство эле­ ментарных событий изобразится квадратом, расположенным между осями координат и прямыми х = Т\ у — Т. Событие А является сум­ мой элементарных событий, изображенных точками, у которых абсцисса и ордината отличаются меньше, чем на т: |у —х\<^х. Последнее нера­ венство, как известно, равносильно двум неравенствам —т < (г/—х<<%, которые в свою очередь равносильны неравенствам х —т < г/<" л: + т. Точки, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам, ле­ жат между прямыми у = х—т и у = х + х. Таким образом, событию А соответствует область квадрата, находящаяся между прямыми у = = х + т и у = х — т (рис. 39).

Пример 8. Пусть F некоторое поле событий и В О F. Обозначим Fв сово­ купность произведений АВ всевозможных событий A(^F на событие В. Будем рассматривать событие В как достоверное, а события, несов­

событий АсВ (г = 1 , 2 , . . .), принадлежащих множеству Fв, также принадлежит множеству Fв, т. е. множество Fb обладает свойством 3 поля событий.

82

4.5.Свойства частот. Определение вероятности

В§ 4.1 была определена частота события, как отношение р (Л) —

=т(А'>- числа опытов т (А), в которых событие А произошло к числу

га всех проведенных опытов. Там же отмечалось, что если с увели­ чением числа опытов частота р (Л) приближается к некоторому постоянному числу р, то это число называют вероятностью события Л. Естественно предположить, что такое число обладает рядом свойств частоты. Поэтому строгое определение понятия вероятно­ сти, которое будет дано ниже, отражает основные свойства, прису­ щие частотам каждого поля событий F. Выясним эти свойства. Так как 0 <)гаг (Л) -<га, то очевидно, частота события — неотрица­ тельное вещественное число.

Достоверное событие происходит в результате каждого опыта (гаг (U) = га), поэтому частота достоверного события равна 1.

Наконец, если события Л и Б несовместны, они не могут прои­ зойти одновременно, и число опытов т (А А В), в которых прои­ зошла сумма этих событий, т. е. по крайней мере одно из них, равно

следует, что частота суммы несовместных событий равна сумме их частот:

Это свойство справедливо для любого числа попарно несовмест­ ных событий A ^ F :

и- (U А-) = 5 Х 4 - ) -

Если некоторому опыту соответствует поле событий F, то после n-кратного повторения этого опыта, каждому событию A (^F можно поставить в соответствие его частоту р (Л). Таким образом, в каж­ дой серии опытов частота является функцией событий поля F. Об­ ластью определения этой функции является поле F, значениями— вещественные числа из промежутка [0, 1]. Как было установлено выше, эта функция обладает следующими свойствами:

1) р((/) = 1;

2)р (Л) >-0 — для любого события Л £F;

3)р |иЛ г| — 2 р (Л(-) — для любых попарно несовместных со­

бытий Лг с- F.

Вероятность событий поля. Вероятностью событий поля F на­ зывается функция событий поля Р (Л), обладающая свойствамиi

I. Р (U) = 1;

II. Р (Л) для любого A£F\

III.P ( и A^ — ^P (Ад для [любых попарно несовместных со

бытий A ^ F .

■ Чтобы решать практические задачи, необходимо знать конкрет­ ный вид функции Р (Л). Эта функция может быть найдена различ­ ными путями. Иногда, например, вероятность событий поля при­ нимают равной частоте событий поля в некоторой достаточно боль­ шой серии опытов: Р (А) = р, (А). Заданную таким образом веро­ ятность называют с т а т и с т и ч е с к о й .

Такой способ определения вероятностей событий вполне анало­ гичен определению различных физических или геометрических ве­ личин при помощи непосредственного измерения. Возможно также определение вероятности из соображений симметрии или вычисле­ ние вероятностей событий данного поля по известным вероятностям событий других полей.

4.6.Свойства вероятности событий. Теорема сложения

вероятностей

Отметим некоторые простейшие свойства, вытекающие из оп­ ределения вероятности событий поля.

Свойство 1. Сумма вероятностей противоположных событий

А и А равна единице:

Р (А + А) = Р (А) + Р (Л).

Из сравнения последних соотношений следует (4.14), которое позволяет, зная вероятность события Л, найти вероятность проти­

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю:

Р (А) = 0.

Для доказательства достаточно вспомнить, что А = U, и вос­ пользоваться формулой (4.14).

Замечание. Обратное утверждение неверно: из того, что Р (А) = 0, еще не следует, что событие А невозможное.

84

Свойство 3. Вероятность любого события не меньше нуля и не превосходит единицы.

бого события неотрицательна, поэтому Р (А) ^>0. По той же при­ чине Р (А) ^>0, а тогда в силу равенства (4.15) Р (Л) <Д.

т. е. вероятность частного случая события В не превосходит веро­ ятности события В.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Событие В может осуществиться либо одновременно с событием А, либо без события А, т. е. одно­

временно с событием А. Поэтому

>В = АВ + АВ.

События АВ и АВ несовместны. Поэтому

Р (В) = Р (АВ + АВ) [Р (АВ) + Р (АВ).

Но так как А — частный случай В, то ввиду (4.6) АВ — А и

Р (В) = Р (А) + Р (АВ),

откуда в виду неотрицательности Р (АВ) следует (4.17).

Свойство 5. Теорема сложения вероятностей. Для любых со­

бытий A ^F и В £ Р вероятность их суммы равна сумме вероятно­ стей этих событий, минус вероятность их произведения:

только в одном из следующих трех исключающих друг друга ва­ риантов:

1) происходит событие А, а событие В не происходит, т. е. осу­

ществляется событие АВ] 2) происходит событие В, а событие А не происходит, т. е. осу­

ществляется событие АВ\ 3) происходят и событие А и событие В, т. е. осуществляется

событие АВ.

Поэтому А + В можно представить в виде суммы попарно не­ совместных событий АВ, АВ и АВ:

А + В = АВ + АВ+АВ,

85

При доказательстве следствия 4 мы отмечали, что

Р(В) = Р(АВ)+Р(АВ),

аналогично

Р(А) = Р(АВ) + Р(АВ).

Сложим два последних равенства и запишем их сумму в виде:

Р(А) + Р (В ) ~ Р (АВ) — Р {АВ) + Р (АВ) + Р (АВ).

Сравнивая эту формулу с (4.19), убеждаемся в справедливости

(4.18).

Без доказательства отметим, что для суммы произвольного ко­ нечного числа любых событий поля А ъ А 2, . . . , Ап справедлива формула:

+Р {A\A^Az) + . . . + ( — A)nP(AiA%. . . Ап).

Вправой части этой формулы сначала складываются вероят­ ности входящих в сумму событий, затем вычитаются вероятности всех попарных произведений, прибавляются вероятности всех про­ изведений, содержащих по три события, и т. д.

4.7. Вычисление вероятностей событий поля

Используя определение вероятности, можно вычислить вероят­ ности всех событий поля по известным вероятностям только неко­ торых событий. Так для того, чтобы определить вероятности всех событий поля, рассмотренного в примере 6 и состоящего из шест­

Так как событие В можно представить в виде суммы несовмест­ ных событий ВС и ВС, то

Р (В) = Р (ВС + ВС) = Р(ВС) + Р (ВС),

откуда

Р (СВ) = Р (В)— Р (ВС) = 0,01.

86

Аналогично,

Р (СВ) = Р(С) — Р (ВС) = 0,02.

Теперь определены вероятности всех элементарных событий (см. рис. 38). Остальные события поля можно представить в виде суммы элементарных событий и, используя свойство 3 вероятности события поля, определить их вероятности. Можно также определить вероятности событий и через вероятности противоположных собы­

тий. Например, вероятность ВС — деталь не имеет двух типов брака — определяется так: Р (ВС) = 1 — Р (ВС) = 0,99. Веро­

ятность события ВС + ВС — деталь имеет только один тип брака— равна:

Р (В С + ВС) = Р (ВС) + Р (ВС) = 0,01 + 0,02 = 0,03.

Пример 9. Электрическая цепь состоит из элементов ах и а2, соединенных

—0,6 = 0,9.

2.Ток пойдет только через элемент ах, если он исправен, а эле­ мент а2 не исправен, т. е. В = ЛХЛ2. Заметим, что событие Лх можно

представить в виде суммы двух несовместных событий: ЛХЛ2 и А гА 2. Поэтому

Р (Лх) = Р (АгА 2 + А , А 2) = Р (АгА,) + Р (ЛХЛ2).

Откуда

Р ( В ) = Р ( , М 2) = Р (Лх) - Р (ЛХЛ2) = 0,8 - 0,6 = 0,2.

Иногда из соображений симметрии удается установить равен­ ство вероятностей некоторых событий, что позволяет сначала вы­ числить эти вероятности, а затем по ним вычислить вероятности всех событий поля. На этом основаны классическое' и геометриче­ ское определения вероятности.

Классическое определение вероятности. Предположение 1. Пред­ положим, что пространство элементарных событий состоит из ко­

87

Используя свойства вероятности и равенство (4.20), получим:

Всякое событие А поля F является суммой некоторого числа тА элементарных событий. Вероятность события А равна сумме тА вероятностей элементарных событий составляющих А.

Поскольку вероятности всех этих событий одинаковы и равны р, то Р (А) = тАр, или в виду (4.21):

Равенство (4.22) было исторически первым определением веро­ ятности. Его называют классическим определением вероятности.

Иногда в литературе по теории вероятности, если выполняется предположение 1, элементарные события называются случаями или шансами, а события, являющиеся частными случаями, события Л, называются благоприятствующими А. Поэтому классическое оп­ ределение вероятности, основанное на равенстве (4.22), словестно формулируется так: вероятностью события А называется отноше­ ние тА— числа случаев, благоприятствующих событию А , к общему числу всех случаев п.

В примере 1, если монета симметрична, Р (А) = Р (В) =

в примере 5 случаями (равновероятными элементарными собы­ тиями) являются события Ст, т = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Общее число слу­ чаев равно 6. Случаев, благоприятствующих событию А («выпало

3 _ 1

четное число очков») — три: С 2, С4 и С6. Поэтому Р (Л)

~6 ~ 3

Геометрическое определение вероятностей. Если количество элементарных событий бесконечно, то классическое определение вероятности не применимо. Действительно, из предположения об одинаковой вероятности каждого элементарного события в случае бесконечного числа событий следует, что вероятности каждого эле­ ментарного события и каждого события Л, которому благоприятст­ вует конечное число элементарных событий, равны нулю, и фор­ мулу (4.22) нельзя использовать для определения вероятности всех событий поля. Однако в тех случаях, когда пространство элемен­ тарных событий изображается, как в примере 7, областью на пря­ мой, плоскости или в пространстве, имеющей соответственно ко­ нечную длину, площадь или объем, соображения симметрии поз-

88

воляют построить определение вероятности на геометрической ос­ нове.

Пусть, для определенности, пространство элементарных собы­ тий изображается на плоскости, ограниченной областью Q, имею­ щей площадь 5 (Q). Поле событий F состоит из всех событий, изо­ бражающихся теми частями области Q, которые имеют площадь. Пусть при этом выполняется следующее предположение.

Предположение 2. Вероятности событий, изображающихся об.

ластями одинаковой площади, равны. Тогда, вероятность Р (Л) каждого события можно определить как отношение площади соот­ ветствующей ему области й л к площади всей области Q:

Функция Р (Л), определенная на поле событий F равенством

функция является единственной функцией, обладающей свойствами I— III и удовлетворяющей предположению 2.

Формула (4.23) обобщается следующим образом:

где v (Пл) и v (П) — меры областей Пл и П, т. е. смотря по обстоя­ тельствам длины, площади, объема и т. п.

Таким образом, можно сформулировать следующее геометриче­ ское определение вероятности. Если пространство элементарных событий изображается областью, имеющей конечную меру, и собы­ тия, изображающиеся областями одинаковой меры, одинаково ве­ роятны, то вероятностью, события А £ F называется отношение меры области, изображающей событие А, к мере всего пространства элементарных событий.

Пример 10 (продолжение, примера 7). Рассматривается прием радистом

в течение промежутка времени [0, Т ] сигналов от двух корреспондентов. Обозначим, как и в примере 7, через х — момент поступления первого сигнала; у — второго сигнала. Событие А — срыв сеанса связи про­ исходит тогда, когда промежуток времени между моментами поступ­ ления сигналов меньше т, т. е. А = {|х—Л<СТ}- Считая, что появле­ ние точки (х , у) в областях квадрата OLMN (рис. 39), имеющих одина­ ковую площадь, одинаково вероятно, определить вероятность собы­

89