книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

когда не выполняется неравенство а 2 < а£, т. е. первые два события эквивалентны, а последние — противоположны. Учитывая это и

(6.33), находим:

170

Таким образом, для п > 30

7 ! = п— \+ ^УЩ п- 1);

(6.37)

Тг = п— 1 -fp ]/2 (n —•1), )

причем /р находится по таблице значений нормальной функции распределения так, как это было описано ранее.

Доверительным интервалом для среднеквадратического откло­ нения является интервал [стн, ав].

Вычисление доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии. Чтобы найти границы до­ верительного интервала для математического ожидания т случай­ ной величины |, распределенной в генеральной совокупности по нормальному закону с параметрами т и а воспользуемся тем, что

случайная величина —2------ , где т%и о выборочные математическое

<4

ожидание и дисперсия, распределена по закону Стьюдента с числом

в табл. II приложения. Определивтр по этой таблице, можно найти

границы доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии:

распределена по нормальному закону, найти доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной ве­

Подставляя от* и ТрО* в формулы (6.39), находим границы дове­ рительного интервала для математического ожидания:

отн = 32,129 — 0,922 =31,207; т в =32,129 +0,922 = 33,151.

Чтобы определить доверительный интервал для дисперсии, нужно найти 7 ! и у2, которые являются соответственно квантилями порядка

Таким образом, при сделанных предположениях на основе резуль­ татов выборки рассмотренной в примере 1 можно утверждать, что с ве­

Пример 8 . По данным результатов измерений диаметров головок закле­ пок, приведенным в примере 3, найти доверительные интервалы для

,математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения диаметров головок заклепок, соответствующие довери­

тельной вероятности [5 = 0,98.

Р е ш е н и е . Объем выборки в примере 3 равен п = 200, выбо­ рочные математическое ожидание и дисперсия равны:

от* =13,416; с* = 0,012.

Так как объем выборки большой, то законы распределения от* и 0 » будут близки к нормальным. Учитывая это, доверительный ин­

172

личин называют косвенными измерениями). Как в случае прямых, так и в случае косвенных измерений, значения, полученные в ре­ зультате эксперимента, как правило, отличаются от истинных зна­ чений измеряемых величин, а при повторении одних и тех же из­ мерений результаты отличаются друг от друга. Разность между результатом измерения X и истинным значением измеряемой ве­ личины а называется ошибкой измерения б = X — а. В зависимости от причин, вызывающих ошибки измерения, их делят на случайные, систематические и грубые (промахи).

Промахами называют ошибки, являющиеся результатом небреж­ ности лица, проводящего измерения, его низкой квалификации или неожиданных сильных внешних воздействий на измерения.

Значения систематических ошибок при однотипных измерениях остаются постоянными. Они являются следствием невыявленных и неустраненных постоянных эффектов, таких как ошибка градуи­ ровки прибора, искривление луча локатора, вызванное рефракцией и т. п. Систематические ошибки выявляются и устраняются путем анализа способа измерений в тех разделах техники, физики, биоло­ гии и других наук, которые разрабатывают методику эксперимента.

Случайные ошибки являются следствием причин, влияние ко­ торых практически невозможно учесть. Этих причин очень много, а роль каждой из них незначительна и изменчива. К таким при­ чинам относятся мелкие сейсмические толчки, испытываемые ин­ струментом, вибрация, вызванная проезжающими вдали автома­ шинами, температурные колебания, колебания воздуха, вызванные турбулентными явлениями в атмосфере, различная психологическая настройка и смещение относительно шкалы лица, производящего измерение, и т. д. Поскольку случайные ошибки складываются в ре­ зультате суммарного действия большого числа малых случайных отклонений, то в силу центральной предельной теоремы закон рас­ пределения случайных ошибок близок к нормальному.

В теории ошибок предполагается, что эксперимент организован так, что промахи и систематические ошибки устранены, ошибки измерения являются случайными и распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю. (Отличие ма­ тематического ожидания от нуля свидетельствовало бы о том, что не все систематические ошибки устранены). Задача теории ошибок состоит в том, чтобы по ряду прямых или косвенных измерений, содержащих случайные ошибки, дать наиболее точную оценку ис­ тинных значений измеряемых величин.

Обработка прямых равноточных измерений. Точность в теории ошибок характеризуется дисперсией или средним квадратическим отклонением ошибок измерения. Пусть требуемая величина а из­ меряется непосредственно. Измерения производятся одним и тем же наблюдателем с помощью одного и того же прибора, в одинако­ вых условиях, т. е. точность каждого измерения одинакова. Ре­ зультатом измерений являются числа Х и Х 2, . . . , Хп, каждое из которых отличается от истинного значения а измеряемой величины

174

на ошибку измерения б,- (i = 1, 2, . . . , п). Вейлу сделанных пред­ положений ошибки бг распределены одинаково: по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и одинаковой дисперсией а2 (которая может быть заранее неизвестной). Поскольку Xt = а + б т о , как следует из § 5.10 и примера 2 гл. 5, случай­ ные величины Х{ распределены по нормальному закону с матема­ тическим ожиданием, равным а и дисперсией а2. Таким образом, задача оценки величины а при прямых равноточных измерениях по существу ничем не отличается от рассмотренной в § 3 задачи оценки математического ожидания по выборочным значениям.

Из сказанного следует, что состоятельной, несмещенной и эф­

следует из (6.20)

В теории ошибок результаты принято записывать кратко в сим­ волической форме

а= а + (та,

где а — оценка измеряемой величины, а оа— среднее квадратическое отклонение (средняя квадратическая ошибка) этой оценки.

Для более полной и точной характеристики оцениваемых вели­ чин необходимо указывать доверительные вероятности и соответст­ вующие им доверительные интервалы, которые могут быть найдены по методам, изложенным в § 6.4.

Пример 9. Пять независимых измерений расстояния между двумя геоде­

той же схеме, что и решение примера 2 , выбрав в качестве ложного нуля а = 42 800 м.

175

Вычисление удобно проводить, записывая результаты в табл. 2.

По формуле (6.5) находим оценку для R:

С

0,05 — и 0,95 квантили х2 распределения с числом степеней свободы 4:

у2 = 3,36, Yi = 11,67. Подставляя 0 ^, у 2 в формулу (6.38),

находим границы доверительного интервала для дисперсии a2R:

[646,3; 2226,9].

Доверительным интервалом среднего квадратического отклоне­ ния, соответствующим доверительной вероятности 0,9 является ин­

176

В действительности, из-за ошибок измерения равенства (6.44) при истинных значениях ах, а2, . ■■, ат, выполняются нестрого и уравнения можно рассматривать только как условные. Их так и называют «условными уравнениями». Разность между правой и левой частью называют невязкой уравнения. В нашем случае не­ вязка равна ошибке 6£ результата измерения величины г/£. При п<Ст число уравнений меньше числа неизвестных и оценки ах, . . .,

торых равно числу неизвестных. При п^>т возникает задача ис­ пользовать избыток уравнений таким образом, чтобы сделать ми­ нимальным влияние ошибок измерения на оценку величин ах, . , ат.

Будем предполагать, что все величины г/£ измерены с одинако­ вой точностью, т. е. дисперсии а2 всех ошибок измерения одинаковы, и кроме того, ошибки измерения 6£независимы:

подобия (см. § 6.3). Вероятность того, что измеренные значения величин yt будут удовлетворять неравенствам

с точностью до величин более высокого порядка малости, чем А” , равна:

п

(2д) 2 оп

Найдем величины ах, а2, . . . , ат— обеспечивающие максимум этой вероятности. Очевидно, что точка максимума функции правдо­ подобия (6.45) одновременно является точкой минимума суммы квадратов невязок:

Так как в точках экстремума дифференцируемой функции част-' ные производные равны нулю, то дифференцируя (6.46) по ajt / = 1, . . . , т, получим систему т уравнений для определения

177

Метод, в соответствии с которым параметры подбираются так, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов невязок, называется

методом наименьших квадратов. В нашем случае оценки ah полу­ ченные по методу наименьших квадратов, обеспечивают и максимум функции правдоподобия.

Можно показать, что в случае, когда все линейно зависят то dj, оценка, полученная по методу наименьших квадратов, является несмещенной и эффективной.

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наи­ меньших квадратов. Во многих случаях опыт проводится с целью

всегда можно провести кривую, выражаемую аналитически много­ членом степени (п— 1), так, чтобы она в точности прошла через каждую точку.* Однако такое решение вопроса не является удов­

лярный характер экспериментальной зависимости, вызванный ошибками измерения. В связи с этим возникает задача сглажива­ ния экспериментальной зависимости: требуется обработать экспе­ риментальные данные так, чтобы отразить зависимость у от х и вместе с тем сгладить случайные уклонения, вызванные неизбеж­ ными ошибками измерений. Будем предполагать, что тип зависимо­ сти у = f (х) известен с точностью до нескольких числовых пара­ метров а1; а2, . . . , ат. Часто вопрос о типе кривой решается не­ посредственно по внешнему виду кривой. Так зависимость, изобра­ женная на рис. 62, мало отличается от параболы и, следовательно, хорошо может быть представлена полиномом второй степени. В дру­ гих случаях тип кривой известен из теоретических соображений. При сделанных предположениях задача о сглаживании эксперимен­ тальных зависимостей может быть сформулирована следующим об­

178

в некотором смысле наилучшим образом выражала эту зависи­ мость.

Эту задачу обычно решают методом наименьших квадратов, ко­ торый состоит в следующем. Ввиду ошибок, происходящих при из­

называется невязкой в точке х = Хс. Желательно, подобрать па­ раметры ах, а 2, . . . , ат таким образом, чтобы во-первых, умень­ шить невязку во всех точках, где проводились замеры, и во-вторых, чтобы процедура для вычисления этих параметров была сравни­ тельно простой. В методе наименьших квадратов обе цели дости­ гаются за счет того, что в качестве оценок неизвестных параметров

берутся числа ах, аа, . . . , ат, при которых достигает минимума сумма квадратов невязок:

S(a, Ь)= 2 ( У (. - а Х г- 6 ) г.

1= 1

Чтобы найти минимум этой функции, найдем частные производ­ ные первого порядка и приравняем их нулю:

Таким образом, получили систему двух уравнений для опреде­ ления неизвестных а и Ь. Разделив оба уравнения на 2п и раскры­ вая скобки, преобразуем систему уравнений следующим образом-.

179