книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

По закону Пуассона распределены, например, число вызовов абонентов на АТС в течение минуты, число аварий на некотором участке в небольшой промежуток времени, число попаданий в оди­ наковые малые участки при стрельбе по большой площади и т. п.

Проверим выполнение равенства (5.2):

Ряд в скобках сходится и его сумма равна еа, так что

2 Р{1 = т) = е—аеа= к

т —О

5.3. Функция распределения

Втех случаях, когда значения случайной величины сплошь за­ полняют некоторый интервал, вероятность каждого отдельного значения случайной величины, как отмечалось выше (см. геометри­ ческое определение вероятности), может быть равна нулю. Зада­ вать закон распределения такой случайной величины в виде ряда распределения нельзя. Поэтому часто закон распределения задают, указывая не вероятность каждого отдельного значения случайной величины, а вероятность того, что случайная величина примет зна­ чение, меньше заданного числа х, т. е. Р ( £ 0 ) . Очевидно, эта ве­ роятность является функцией х. Ее называют функцией распреде­ ления.

Определение. Функцией распределения F (х) случайной величины

называется функция переменной х, определенная на всей числовой оси и равная вероятности того, что случайная величина 5 примет значение меньшее, чем аргумент этой функции:

Закон распределения в виде функции распределения может быть задан для любых случайных величин, как дискретных, так и не­ прерывных. Функцию распределения дискретной случайной ве­ личины можно вычислить, если известен ряд распределения:

Суммирование в формуле. (5.6) производится по всем т, для ко­ торых хт<^х, т. е. суммируются вероятности тех значений дискрет­ ной случайной величины, которые меньше аргумента функции рас­ пределения.

Зная функцию распределения F (х) случайной величины £ можно вычислить вероятность того, что эта случайная величина принимает

ПО

Из этого свойства следует, что

Свойство 3. Если в точке xQфункция распределения F (х) слу­ чайной величины \ непрерывна, то вероятность принять значение

х0 для случайной величины £ равна нулю-.

Р{ 1 = х 0) = 0.

До к а з а т е л ь с т в о . Действительно, так как вероятность любого события неотрицательна и событие {£ = х0) является част­ ным случаем события )х0< К ^ 0 + Ах} можно, принимая во вни­ мание (4.17), написать неравенства

0 < Р ( £ = х 0) < Р ( х о< £ < х о+ Ах),

справедливые при любом Д х >0 . В силу (5.7)

Р (х0< 1 < х 0+ Ах) —F (х0-|-Ах) — Р(х0).

Устремим Дх к нулю. Ввиду непрерывности F (х) в точке х0, бесконечно малому приращенрю аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

Нт ДР = 0.

л*-о

Переменные 0 и ДF, стоящие в правой и левой частях неравен­ ства (5.13), стремятся к 0, т. е. к одному и тому же пределу, следо­ вательно и переменная, заключенная между ними, стремится к тому же пределу:*

lim Р (I = х 0) —0.

Л*-*-0

Вместе с тем величина Р (£ = х0) от Дх це зависит и, следова­ тельно, при изменении Дх остается постоянной. Поэтому

lim Р (£ = х 0) = Р ( 1 = х0).

Ах-*0

Таким образом, Р (| = х0) = 0, что и требовалось доказать.

Замечание. Из равенства нулю вероятности события {£ = х0} вовсе не следует, что это событие невозможное. Действительно, пусть функция распределения непрерывна и строго возрастает на промежутке [а, Ь). По свойству 3 вероятность каждого отдельного значения из этого про­ межутка равна 0. В то же время вероятность того, что реализуется хотя бы одно из значений х, принадлежащих промежутку, положи­ тельна, так как по формуле (5.7)

Р (а < £ < Ь) — F (Ь) — F (а) > 0 при b > а.

Свойство 4. Вероятность попадания значений случайной вели­ чины в некоторый промежуток не изменится, если к этому проме­

* См. [1], § 5.5, теорема 1, стр. 142.

112

Р(а<|<Р) =Р(а<КР).

Р(а < Е < Р ) = Р ( а < £ < Р ) + Р (| = Р ).

В силу непрерывности F (х) в точке |3 и свойства 3 второе сла­ гаемое в правой части последнего равенства равно 0, откуда и сле­ дует доказываемое неравенство.

Принимая во внимание (5.7), аналогичным образом можно по­ казать, что, если F (х) непрерывна в точках а и |3, то

P K k p ) = P K U P ) =

= Р ( а < £ < Р ) = Р(Р)— F(a). (5.14)

Показательный закон распре­ деления. Время т безотказной

______

0,5 -

Р и с . 47

работы приборов (телевизоров, электроламп и т. п.) есть случайная величина, функция распределения которой имеет вид:

| 0 для ^<0,

(5.15)

1 1 — ё~и для t > 0.

Про случайную величину т, функция распределения которой задается соотношением (5.15), говорят, что она имеет показатель­ ное распределение или что она распределена по показательному закону.

Нетрудно видеть, что F (— оо) = 0, F (+ со) = 1. Эта функция непрерывна везде, так что вероятность каждого отдельного значе­ ния случайной величины, распределенной по показательному за­ кону, равна нулю. График функции распределения F (t) для пока­ зательного закона показан на рис. 46.

Функция распределения дискретной случайной величины. Если возможные значения дискретной величины перенумерованы в по-

рядке возрастания, то ее функция распределения может быть за­ дана формулой

Одля х<_хъ

Эта функция имеет разрывы первого рода в точках возможных значений хтслучайной величины. При этом

F{xm— 0) = f ( x m),

т. е. функция распределения непрерывна слева. Скачок функции распределения в точке разрыва хтравен вероятности того, что слу­ чайная величина примет значение, равное хт\

F(xm+ 0) —F (хт) = Р(Ъ= хт).

График функции распределения дискретной случайной вели­ чины является ступенчатой ломаной линией. На рис. 47 показан график распределения суммы очков при двух бросаниях игральной кости.

5.4. Плотность вероятности

Если случайная величина £ имеет непрерывную на всей числовой оси функцию распределения F (х) и эта функция во всех точках чис­ ловой оси (за исключением может быть отдельных изолированных точек) дифференцируема, то закон распределения \ может быть задан с помощью производной от функции распределения.

Определение. Плотностью вероятности f (%) случайной вели­ чины £ называется производная от ее функции распределения:

В тех точках, где F (х) не дифференцируема, плотность вероят­ ности f (х) не определена.

График плотности вероятности называется кривой распределе­ ния.

Закон распределения дискретной случайной величины, нельзя задать плотностью вероятности, так как на участках, где функция распределения этой величины непрерывна, она постоянна, и следо­ вательно, / (х) = F' (х) = 0, а случайная величина принимает зна­ чения с положительными вероятностями только в точках разрыва F (х), где плотность вероятности f (х) не определена.

Зная плотность вероятности случайной величины, можно вы­ числить вероятность того, что ее значения попадут в любой интер­ вал числовой оси. Действительно, так как плотность вероятности есть производная функции распределения, то функция распределе-

114

ния является первообразной от плотности вероятности. Пользуясь формулой Ньютона—Лейбница, находим:

малых более высокого порядка малости, чем Ах) равно вероятности

— СО

Равенство (5.20) следует из (5.18) и (5.12) и означает, что при­ нятие случайной величиной £ в результате опыта какого-нибудь вещественного значения х, — со< х< С + ° ° , есть достоверное событие.

Свойство 2. Плотность вероятности / (х) неотрицательна (как производная неубывающей функции):

Свойство 3. Функция распределения является первообразной для

Закон равномерной плотности. Пусть множеством возможных значений непрерывной случайной величины является промежуток [а, Ь], причем внутри этого промежутка плотность вероятности постоянна. Найдем плотность вероятности и функцию распределе­ ния этой случайной величины.

Обозначим F (х) и / (х) — функцию распределения и плотность

Ъ■— а

сматриваемой случайной величины имеет вид:

0

1

f(x).

Ъ— а

О

Подставляя найденное выражение для f (х) в (5.22), получим:

Закон распределения непрерывной случайной величины, плот­ ность вероятности и функция распределения которой имеют соот­ ветственно вид (5.24) и (5.25), называется законом равномерной плотности.

Геометрическая и механическая интерпретация закона распреде­ ления случайной величины. Как следует из определения функции распределения F (х), величина ординаты точки графика этой функ­ ции равна вероятности того, что случайная величина | примет зна-

116

чение, меньшее абсциссы этой точки (рис. 48). Вероятность попада­ ния значений случайной величины £ в интервал [а, |3) равна при­ ращению ординаты графика функции распределения на этом участке и площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, т. е. графиком функции у = / (х), слева и справа прямыми х = а, х = $ и снизу осью Ох (рис. 49).

При механической интерпретации распределение непрерывной случайной величины £ рассматривают как непрерывное распреде­ ление единичной массы по стержню с плотностью; равной f (х).

5.5. Нормальное распределение скалярной случайной величины

Закон распределения скалярной случайной величины, плот­ ность вепоятности которой имеет вид

где т — любое вещественное число; а — любое положительное ве­ щественное число, называется н о р м а л ь н ы м или з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я Г а у с с а . Случайная величина, распре­ деленная по нормальному закону, называется н о р м а л ь н о й . Особое место нормального закона распределения среди других за­ конов распределения отчасти объясняется его широким практиче­ ским применением. Как показано ниже, законы распределения многих реальных случайных величин, значения которых склады­ ваются в результате действия большого количества независимых факторов, можно с большой степенью точности считать нормаль­ ными (например, по нормальному закону распределены ошибки измерения).

Проверим, обладает ли функция (5.26) свойством 1 плотности вероятности. Подставляя / (х) из (5.26) в (5.20) и применяя подста­

* См. Н. С. П и с к у н о в . Дифференциальное и интегральное ис­ числение для ВТУЗов. Т. 2, изд-е 7. М., изд-во «Наука», 1966, стр. 68.

117

Кривая распределения нормального закона. Нормальный закон распределения зависит от двух параметров от и о. В частном слу­ чае, когда от = 0 и а = 1 плотность вероятности нормального за­ кона определяется формулой

Исследуем функцию ср (х) и построим ее график. Замечаем, что

следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат.

достигается в точке максимума. Таким образом, график функции Ф (х) имеет вид, показанный на рис. 50.

Кривая распределения нормального закона в общем случае по­ лучается из графика функции ф (х) растяжением его вдоль оси абсцисс и сжатием вдоль оси ординат в а раз и последующим сдви­ гом по оси абсцисс на от единиц вправо или влево. Следовательно, кривая распределения нормального закона в общем случае будет симметрична относительно прямой х = от, а максимальное значе­

ние ординаты кривой равно __ . Чем меньше сг, тем круче кривая

У 2л а

распределения, тем больше максимум f (х) и тем больше вероятность значений случайной величины, близких к от. С увеличением а мак­ симальная ордината уменьшается, а ширина графика увеличивается в соответствии с тем, что площадь между графиком f (х) и осью абс­ цисс должна оставаться постоянной, равной единице (рис. 51).

118

Нормальная функция распределения. Функция распределения

нормального закона с параметрами т = 0, о = 1 называется нор­ мальной ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я . Ее значения для

х^-0 приведены в приложении табл. I. Значения этой функции для

х< 0 можно найти, используя симметрию нормального распреде­ ления (рис. 52):

Функция распределения F (х) нормального закона в общем слу­ чае может быть выражена через нормальную функцию распределе-

Вероятность попадания значений случайной величины, распре­ деленной по нормальному закону, в заданный интервал. Так как ве­ роятность попадания значений случайной величины в интервал (а, р) определяется с помощью функции распределения по формуле (5.7), то для величины, распределенной по нормальному закону, учитывая (5.31) получаем формулу:

Всилу (5.32) имеем:

Р(|5-/п|</) = Р ( т - / < | < т + 0 = ф ( 4 - ) - ф ( — г)*

Принимая во внимание (5.30), получаем:

119