книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Замечательным свойством этих законов распределения, которое и используется в статистике,'является их независимость от пара­ метров т и а. Единственным параметром этих законов распределе­ ния является число п случайных аргументов Число степеней свободы на единицу меньше, чем число аргументов. Аналитические выражения плотностей вероятностей случайных величин, распре­ деленных по закоцам %2 и Стьюдента, здесь не приведены, так как они довольно громоздки и на практике обычно пользуются не ана­ литическими выражениями, а таблицами. Заметим только, что

функцией. Вид кривых распределения (графиков плотностей веро­ ятности) для случайных величин, распределенных по законам %2 и Стьюдента, показан соответственно на рис. 58, а и б.

;5.11. Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел. В § 1.4 говорилось о том, что явления, подчиненные вероятностным закономерностям, обладают следую­ щим свойством: при большом числе опытов ■частота события при­ близительно равна его вероятности. Более точно эта связь между частотами событий и вероятностями устанавливается в теоремах, получивших общее название закона больших чисел. К числу тео­ рем закона больших чисел относятся также теоремы, устанавли­ вающие связь между числовыми характеристиками случайной ве­ личины (такими, как математическое ожидание, дисперсия и т. п.) и их оценками, полученными по результатам наблюдения значений случайной величины в большой серии опытов. Во всех этих теоре­ мах выясняется, что среднее арифметическое значений случайной величины, принятых ею в серии опытов, при неограниченном уве­ личении числа опытов в серии утрачивает случайный характер. Первая теорема закона больших чисел была доказана в 1713 г. Бер­ нулли. В дальнейшем наиболее важные и полные результаты были получены Чебышевым, Марковым, Бернштейном и Хинчиным.

Из всех теорем закона больших чисел рассмотрим только две: Бернулли и Чебышева.

Сходимость по вероятности. Для формулировки теорем закона больших чисел удобно ввести понятие сходимости по вероятности.

Определение. Говорят, что при п -> с о случайная величина

сходится по вероятности к постоянному числу А , если для любого 8>>0, вероятность того, что значение случайной величины \п будет отличаться от числа А не больше, чем на е, стремится к единице при п -» о о ,

lim Р(\ 1п — А |< е ) = 1.

150

Теорема Бернулли. Предположим, что проводится последова­ тельность серий опытов, причем серия с номером п состоит из п опытов. Предположим также, что опыты проводятся по схеме Бер­ нулли, т. е. вероятность появления события А в каждом опыте по­ стоянна и не зависит от результатов других опытов, т. е. Р (А) = р в любом опыте, любой серии.

Обозначим через (Л) частоту появления события А в серии опытов с номером п. Число опытов в серии совпадает с номером серии, поэтому в соответствии с определением частоты события

И) = тп (А)

где тп (А) — число опытов в серии с номером п, в которых появи­ лось событие Л. В каждой серии опытов величина (Л) является случайной, причем закон распределения этой величины очевидно зависит от р и п. Для этой величины Бернулли доказал следующее утверждение.

Теорема. Частота р.„ (Л) события А сходится по вероятности к вероятности этого события р, т. е.

/ г - > СО

Теорема Чебышева. Рассмотрим последовательность серий оди­ наковых и независимых опытов. Пусть как и выше число опытов в каждой серии совпадает с номером серии. В каждом опыте наблю­ даются значения случайной величины Обозначим через Х1п зна­ чение £, наблюдающееся в г-м опыте серии с номером п. Тогда сред­

нее арифметическое \п значений случайной величины £ наблюдаю­ щихся в серии с номером п, равно:

случайной величины | конечна, то справедливо следующее утверж­

151

чины £ задан плотностью вероятности (в случае дискретных случай­

Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то каждый из интегралов неотрицателен, и если отбросить второй интеграл, то выражение не увеличится. Оставшиеся интегралы берутся по области, где \х— |>е, так что заменяя (х—т|)2 на е2, получаем оценку:

Первый интеграл в квадратных скобках равен вероятности со­ бытия А = — е}, второй — вероятнрсти события В = = + е). Заметим далее, что событие С = (|£ — т^\^>е}, противоположное событию {|| — т§\ < в}, состоит в выполнении одного из неравенств — е или |>/П| + е и, следовательно, является суммой событий А и В:

равно вероятности того, что значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания больше чем на е:

Подставив полученное выражение в (5.124) и разделив правую и левую части на s2, получим (5.123).

Для доказательства теоремы Чебышева заметим, что поскольку рассматриваются независимые опыты, то значение случайной ве­

1 п

ляются независимыми. При таком рассмотрении число — 2 X in

п ;=i

п г=1

152

вые характеристики т|>, используя свойства математического ожи дания и дисперсии:

Р(|ф— М [ ф ] | < е ) = 1 — Р(|ф — М№] |>е). (5.127)

Ввиду неравенства Чебышева (5.123) вычитаемое в правой ча­

сти (5.127) меньше, чем — П[ф], поэтому

е 2

следовательно, стремится к 1 и центральная часть неравенства, что доказывает теорему Чебышева.

Для доказательства теоремы Бернулли достаточно в теореме Чебышева рассмотреть случайную величину £, которая принимает значение 1, когда происходит событие Л, и 0, когда событие А не происходит.

Среднее арифметическое наблюдавшихся значений такой слу­ чайной величины будет равно частоте события А .

Центральная предельная теорема. Большое значение для теоре­ тического обоснования различных приложений теории вероятно­ стей имеют теоремы, выясняющие условия близости законов рас­ пределения различных случайных величин к тем или иным теоре­ тическим законам распределения. Наиболее важной теоремой ука­ занного типа является центральная предельная теорема. В этой

153

теореме выясняются условия, при которых закон распределения суммы

п

*= 2 5 ( i—1

случайных величин приближается к нормальному закону.

Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы, область применения которой охватывает практически все интерес­ ные случаи, была доказана А. М. Ляпуновым в 1900 г. Не останав­ ливаясь на самых общих формах центральной предельной теоремы, сформулируем ее для случая одинаково распределенных независи­ мых слагаемых.

моментами до третьего порядка включительно, то при неограни-

Замечание. Эта теорема была доказана А. М. Ляпуновым для слагае­ мых, имеющих произвольные (не обязательно одинаковые) законы рас­ пределения, при условии, что

Центральная предельная теорема объясняет причины большого распространения нормально-распределенных величин. Закон рас­ пределения случайной величины близок к нормальному, если она может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа практически произвольных независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму. По этой причине, например, можно считать нор­ мальными законы распределения ошибок при измерении различных физических величин и т. п.

Г л а в а 6

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

6.1. Генеральная совокупность и выборка. Основные задачи математической статистики

Пусть требуется выяснить распределение какого-нибудь при­ знака среди, предметов, принадлежащих большой конечной или бесконечной совокупности. Признак может быть качественным

154

(например, каждое изделие в партии можно охарактеризовать как

тала до того, как перегорела, звезды — числом планет). В дальней­ шем будем рассматривать только количественные признаки, так как изучение качественного признака можно свести к изучению коли­ чественного, вводя величину, принимающую значение 1, если пред­ мет обладает исследуемым качеством, и 0, когда он этим качеством не обладает. Для простоты будем считать величину £, характеризую­ щую рассматриваемый признак, скалярной. Обозначим F (х) — долю предметов в интересующей исследователя совокупности, у которых | меньше х. Совокупность предметов, о которой хотят составить представление, в статистике называют генеральной совокупностью, а функцию F (х) — функцией распределения вероятностей вели­ чины \ в генеральной совокупности. Очень часто исследование всей совокупности невозможно, или связано с большими затратами. Тогда случайным образом (так что вероятность выбора любого предмета из генеральной совокупности одинакова) выбирают п предметов и только эти предметы генеральной совокупности под­ вергают обследованию, а на основании их обследования составляют представление о всей генеральной совокупности.

Обследуемый набор предметов называют выборкой объема п. Задачи математической статистики состоят в получении обоснован­ ных выводов о свойствах генеральной совокупности по известным свойствам извлеченной из нее выборки. Ниже рассмотрены следую­ щие типичные задачи математической* статистики:

а) установление закона распределения величины £ в генераль­ ной совокупности,

б) определение параметров закона распределения, когда закон распределения известен,

в) обработка результатов измерений.

Будем предполагать, что распределение вероятностей | в пред­ метах генеральной совокупности, оставшихся после извлечения из нее выборки, не зависит от того, какие именно предметы генераль­ ной совокупности попали в выборку. Это предположение, очевидно, выполняется для повторных выборок, которые составляются сле­ дующим образом: после того как предмет обследован и результаты обследования зарегистрированы, он опять возвращается в генераль­ ную совокупность и может быть выбран (в ту же выборку) снова. Для бесповторной выборки, когда обследуемые предметы обратно в генеральную совокупность не возвращаются, это предположение будет практически справедливым, если объем генеральной совокуп­ ности намного больше объема выборки (например, для бесконечной генеральной совокупности).

155

6.2. Описание и систематизация выборки

Для удобства обработки и описания результатов выборки вы­ борочные значения | (т. е. значения полученные в результате обследования предметов, составляющих выборку) прежде всего располагают в неубывающем порядке, перенумеровав соответствую­ щим образом члены выборки: Х х < Х 2 < . . . < Хп_ 1< Х п (неко­

торые соседние значения могут быть одинаковыми). Такая после­ довательность выборочных значе­ ний, расположенных в неубываю­ щем порядке, называется вариа­ ционным рядом. Средний член ва­ риационного ряда называется ме­ дианой выборки. Если п-нечетное число, медиана равна X л+1, если

матизации выборки небольшого объема иногда рассматривается дискретная случайная величина £*, возможными значениями которой являются выборочные значения £, а их вероятностями — частоты. Закон распределения случайной величины £* называется выборочным или эмпирическим законом

Пример 1. Для обследования отобраны 10 шт. последовательно отштам­ пованных колец шарикоподшипников. Результаты замеров высоты колец следующие:

156

Соответствующий вариационный ряд . . . 31,33; 31,57; 31,75; 31,98; 32,09; 32,36; 32,46; 32,46; 32,61; 32,68. Медианами являются 32,09 и

32,36. Кривая накопленных частот показана на рис. 59. £* = 32,129;

а2 = 0,193.

*

Для выборок большого объема распространен другой способ графического представления. Весь интервал числовой оси, в кото­ рый попадают выборочные значения \ делят на п (обычно 10—20) равных частей точками а0<С,а1<С_а2<^ . . . Обозначим vk число предметов выборки, для которых значения | попадают в про­ межуток [ak^v aky Над каждым таким промежутком на графике

строится прямоугольник высотой vk. Полученную ступенчатую фигуру называют гистограммой выборки (рис. 60). Рассматривается

случайная величина £* с возможными значениями xk= ak~1^rClk ;

каждое такое значение имеет вероятность — . Выборочным законом

распределения считается распределение |*, выборочные среднее и дисперсия находятся по формулам

И т. д .

Советским математиком Гливенко доказана теорема о том, что при достаточно большом объеме выборки п и малом А = ak— ak_ x

выборочный закон распределения сколь угодно близок к закону распределения генеральной совокупности.

Правило «ложного» нуля. Для упрощения расчетов при вычис­ лении числовых характеристик выборки удобно воспользоваться правилом «ложного нуля». Правило это состоит в следующем.

Выбирается произвольное число а, после чего формула (6.1) для среднего значения выборки заменяется равносильной ей фор­ мулой

Формула для выборочной дисперсии преобразуется следующим

Возводя в квадрат выражения, стоящие в скобках, преобразуем каждое слагаемое в правой части:

(Х1—а+ а — С*)2 - (Xi- a ) z + 2 (Х ,- а ) ( а - ! * ) + (а -| * )2. (6.7)

Просуммируем (6.7) по i, сгруппировав вместе сначала первые слагаемые, затем вторые и третьи. Вторые слагаемые содержат

157

общий множитель 2 (а—£*), который можно вынести за знак суммы,

2 2 (Х;—а) (а —£*) = —2п (а —£*)2.

£=1

Третьи слагаемые в (6.7) одинаковы при всех i, поэтому их сумма будет равна п (а—|*)2. Таким образом,

— а)2 — 2п (а— 1*)2 + п (а— £*)2.

После приведения подобных членов и подстановки получен­ ного выражения в (6.6) оконча­ тельно получаем:

( 6.8)

Заметим, что формулы (6.5) и (6.8) справедливы при любом а, поэтому а подбирается таким образом, чтобы вычисление сумм в (6.5) и (6.8) оказалось воз­ можно более простым (в форму­ лах (6.5) и (6.8) можно брать не одинаковые а).

Пример 2 (продолжение примера 1). Для упрощения вычисления поло­ жим а = 32,1. Вычислим разности Х{—а: — 0,77; — 0,53; — 0,35;

— 0,12; — 0,01; 0,26; 0,36; 0,36; 0,51; 0,58. Сумма этих разностей равна

0,29, поэтому согласно формуле (6.5)

I* = — -0,29 + 32,1 =32,129.

10

Возведем в квадрат каждую разность X i — а, а затем сложив по­

лученные числа, получим 1,9341. Далее находим, что (а — | * ) 2 = = 0,000851. Вычисляем выборочную дисперсию, используя формулу

ст2= — .1,9341 — 0,000851 = 0,192559 « 0,193.

10

ПримерЗ. В первых трех столбцах табл. 1 приведены данные результатов измерения диаметров головок 2 00 заклепок.

158

Все выборочные значения сгруппированы в 12 интервалов длиной 0,05 мм каждый. В первом столбце помещены номера интервалов г,

Полученный эмпирический закон распределения заменяют в том или ином отношении близкой к нему удобной аналитической функ­ цией. Для этой цели могут быть использованы нормальная функция распределения, кривые Пирсона и т. д. Для приближенного пред­ ставления выборочного распределения дискретной случайной ве­ личины может оказаться полезным закон распределения Пуассона с соответствующим образом выбранным параметром а. Более под­ робно о представлении эмпирических зависимостей аналитическими функциями будет сказано в § 6.5.

Пример 4 (продолжение примера 3). В качестве приближения кривой накопленных частот закона распределения диаметров заклепок возь­ мем функцию распределения для нормального закона с параметрами

кривая накопленных частот выборки, а пунктиром — приближающие

их функции Ф ) и / (х) = Ф.; ( £ " -~) - ^ г •

159