книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Если выполнено условие (3.35), то правая часть в формуле равна нулю, т. е. интеграл по произвольному замкнутому контуру ра­ вен 0. Следовательно, по теореме 1 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

2. Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит

Тогда в силу непрерывности частных производных найдется такая окрестность точки (х0, у0) и такое число т^>0, что в каждой точке этой окрестности

D

где 5 — площадь области D.

С другой стороны по формуле Грина этот интеграл равен нулю, так как он равен криволинейному интегралу по замкнутому кон­ туру, который в силу теоремы 1 равен нулю. Полученное противо­ речие исключает принятое допущение и, следовательно, доказы­ вает условие (3.35).

Теорема 2 доказана полностью.

Условие 3: Выражение Р (х, у) dx-\- Q (х, у) dy является полным

этом учесть теорему 2, то получим, что теорема 3 справедлива. Обобщенное утверждение. Рассмотрим следующие 4 утвержде­

ния:

У т в е р ж д е н и е 1. Интеграл по любому замкнутому контуру из G равен нулю.

* См. [3], § 7.5.

70

Раздел II

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Г л а в а 4

СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

4.1.Предмет теории вероятностей и математической статистики

Изучая закономерности окружающего мира, исследователь среди бесконечного многообразия взаимосвязанных и взаимообусловлен­ ных предметов и явлений выделяет интересующие его событие А и определенный комплекс условий S. Между выделенным комплек­ сом условий и событием возможен следующий характер связей:

1)если выполняется комплекс условий S, происходит событие А;

2)если выполняется комплекс условий S, событие А не проис­

ходит;

3)если выполняется комплекс условий S, событие А иногда

происходит, а иногда не происходит.

, В первых двух случаях говорят, что между комплексом условий 5 и событием А существует неслучайная или детерминированная связь. Примером детерминированной связи между условиями и событием может служить хорошо знакомое всем явление: при ат­ мосферном давлении и температуре 100° С (комплекс условий S) вода закипает (событие А). Для количественного описания детер­ минированных связей с успехом применяется математический аппа­ рат, изучавшийся в предыдущих разделах курса * (понятие функ­ циональной зависимости, дифференциальное и интегральное ис­ числение, дифференциальные уравнения и др.).

Втретьем случае событие А называют случайным по отношению

ккомплексу условий S. Например, случайным является падение монеты гербом вверх (событие А) при подбрасывании (комплекс условий S). Телевизоры, изготовленные одним и тем же заводом, при одной и той же технологии производства (комплекс условийS) иногда работают в течение гарантийного срока без ремонта (собы­ тие А), а иногда выходят из строя до истечения этого срока. Здесь событие А также является случайным по отношению к комплексу условий 5.

Случайность явления по отношению к комплексу условий еще не означает отсутствия всякой закономерной связи между ними. Как показывает практика, для широкого класса явлений законо­

мерности связи между случайным событием А и комплексом усло-

См. [1] - [4].

вий 5 проявляются при многократном воспроизведении условий 5 и могут быть описаны следующим образом.

Пусть проводится достаточно длинная серия из я испытаний, каждое из которых состоит в воспроизведении комплекса условий S. Обозначим т (А) — число тех из проведенных испытаний, в ко­ торых произошло событие А.

Определение. Частотой события А в рассматриваемой серии

Если с увеличением п частота события А лишь слегка колеблется около некоторого постоянного числа р и в различных, достаточно

бытием А существует вероятностная связь. Вероятность р события А служит объективной количественной оценкой возможности появле­ ния этого события при осуществлении условий 5.

Простейшим примером явления, подчиненного вероятностным закономерностям, служат опыты с подбрасыванием монеты. На

К. Пирсон бросал монету 24 000 раз, при этом герб выпал 12 012 раз. Число выпадений герба в десяти сериях по 1000 бросаний мо­ неты в каждой, которые проделал Дж. Керрих, равнялось соот­ ветственно 502; 518; 497; 529; 504; 476; 507; 528; 504; 529. Нетрудно видеть, что во всех этих опытах частота выпадения герба близка к 1/2, поэтому вероятность этого события естественно считать рав­ ной 1/2. Наблюдения показывают, что вероятностным закономер­

73

ностям подчинены также массовое производство и эксплуатация различных изделий, результаты стрельб, ошибки измерения, по­ ведение пешеходов на многолюдных улицах и т. п.

При изучении вероятностных закономерностей нельзя ограни­ читься только теми методами, которые применяются при исследо­ вании детерминированных явлений, в частности, математическим аппаратом, рассмотренным в предыдущих разделах курса. По­ скольку вероятностные закономерности проявляются в явлениях массового характера, для их экспериментального изучения необ­ ходим массовый эксперимент. Методы проведения таких экспери­ ментов и обработки полученных результатов разрабатываются ма­ тематической статистикой; данные экспериментов называют ста­ тистическими. Однако проведение массового эксперимента часто связано с большими расходами времени и средств, а иногда просто невозможно. В этих случаях необходим другой, теоретический путь исследования. Путь этот состоит в том, что установив простейшие вероятностные закономерности экспериментально, новые законо­ мерности выводят с помощью логических построений и вычисле­ ний. С этой целью строится математическая модель, т. е. вводятся абстрактные понятия, которые обладают свойствами, отражающими основные интересующие нас свойства реальных явлений. Такой путь изучения вероятностных закономерностей составляет содер­ жание теории вероятностей. Исходными понятиями теории вероят­ ностей являются понятия события и вероятности.

4.2. События. Обозначение и классификация событий

Будем говорить, что проводится опыт (испытание или экспери­ мент), если осуществляется фиксированный комплекс условий. Событиями называются возможные результаты (исходы) таких опы­ тов. Обозначать события будем большими печатными латинскими буквами: А, В, С и т. д.

Пример 1. Опыт: подбрасывание монеты. События:

А— монета падает цифрой вверх;

В— монета падает вверх гербом.

Пример 2. Опыт: розыгрыш очередного тиража спортлото. События: At —■в заранее заполненной по всем правилам карточке i зачерк­ нутых номеров совпадает с выпавшими номерами очередного тиража;

В— угадано четное число номеров;

С— по карточке можно получить выигрыш;

D — угадано число номеров, кратное трем (три или шесть); U — угадано не более шести номеров.

Пример 3. Опыт: трем игрокам раздается вся колода из 36 карт. События:

А— первая карта при раздаче оказалась тузом;

В— первая карта при раздаче оказалась бубновой масти;

С— у игрока, получившего первую карту, все карты красной

масти;

D — каждый игрок при раздаче получил одинаковое количество карт каждой масти;

Е— первая карта при раздаче оказалась красной масти;

Л — у всех -игроков оказалось одинаковое количество тузов.

74

Иногда события обозначают равенством, неравенством или фразой, заключенными в фигурные скобки.

Пример 4. Опыт: рабочий обслуживает два автоматических станка. Обо­

Пример 5. Опыт: бросание игрального кубика. События:

{выпадение на верхней грани четного числа очков} — выпадение 2, 4 или 6 очков;

{выпадение числа очков, кратного трем}; выпадение 3 или 6 очков; {т = i) — число т выпавших очков равно i (г = 1., 2, 3, 4, 5, 6).

Определение 1. Если некоторое событие обязательно наступает в результате проводимого опыта, его называют достоверным. До­ стоверное событие будем обозначать буквой U.

Определение 2. Событие, которое не может произойти в резуль­ тате рассматриваемого опыта, называется невозможным. Невоз­ можное событие будем обозначать буквой Л.

В примере 3 событие Л — «при раздаче всей колоды карт, со­ держащей четыре туза, трем игрокам у всех игроков оказалось оди­ наковое количество тузов» является невозможным.

В примере 2 достоверным является событие U — угадано не более шести номеров; невозможными, например, являются события Л7 и Л8 (угадано семь, соответственно восемь номеров из шести).

Определение 3. Если при осуществлении некоторого события А

обязательно осуществляется и событие В, то событие А называется частным случаем события В, а событие В — следствием события

Определение 4. Если события А и В могут осуществляться только вместе, они называются эквивалентными. Для эквивалентных со­ бытий справедливо

А а В и В а А .

Эквивалентность событий будем обозначать знаком равенства: Л = В. Эквивалентные события не различают между собой, как не различают, например, равные числа. Событие С— по карточке спорт­ лото можно получить выигрыш эквивалентно событию Е — в пра­ вильно заполненной карточке спортлото угадано не менее трех но­ меров.

75

Определение 5. Событие, состоящее в том, что в результате опыта не происходит событие А, называется событием противо­ положным событию А и обозначается А.

В примере 1 событие А, противоположное событию А (монета падает цифрой вверх), эквивалентно событию В (монета падает вверх

гербом): А = В.

В примере 2 событие С означает, что угадано менее трех номе­

ров. В примере,4 обозначим А = [х>у]. Тогда А = {х-фу}. Для любого события А справедливо равенство:

Очевидно, невозможное и достоверное события противоположны:

4.3. Алгебра событий

Произведение событий. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в том, что одновременно происходят события А и В.

Произведение событий будем обозначать АВ. Распространены также обозначения АС\В и \А и В).

В примере 3 через А обозначено событие, состоящее в том, что при раздаче колоды карт первая карта окажется тузом, а через В — событие, состоящее в том, что первая карта при раздаче ока­ залась бубновой масти. Событие АВ в этом примере заключается в том, что первая карта при раздаче колоды оказалась бубновым тузом.

Несовместные события. События А и В называются несовмест­ ными, если они не происходят одновременно.

Очевидно, произведение несовместных событий является невоз­ можным событием. Несовместность событий А и В равносильна

тому, что АВ ----- Л. События А и А всегда несовместны.

В примере 2 события А (- и As (угадано i, соответственно / номе­ ров) несовместны при i ф j. Несовместны события А 2— угадано два номера и С — по карточке спортлото можно получить выигрыш.

Если события А и В несовместны, то наступление события А влечет ненаступление события В , а наступление события В — ненаступление события А , т. е. А В = Л равносильно тому, что A d B

и В а А . Если А я В совместны ( А В ф А ) , то их произведение яв­ ляется частным случаем как события А , так и события В : А В а А ,

А В а в .

Сумма событий. Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие D, которое состоит в том, что происходит по крайней мере одно из событий А или В.

Сумма событий обозначается А + В. Распространены также обозначения A\JB и {А или В]. Событие А + В происходит тогда,

76

когда либо происходит событие А без события В, либо событие В без события А, либо одновременно оба события А и В.

В примере 2 событие Л(- означает, что угадано i номеров в ти­ раже спортлото, D — угадано число номеров кратное трем. Оче­ видно, D = А3 + Л6.

Свойства суммы и произведения событий. Непосредственно из определений следует, что произведение и сумма событий обладают следующими, несколько необычными, свойствами. Для любого со­ бытия А справедливы соотношения:

Сумма и произведение чисел такими свойствами не обладают. Покажем на примере последнего равенства (4.6) как проверяются эти свойства. Чтобы доказать в рассматриваемом случае эквива­ лентность события АВ событию А, заметим следующее: так как со­ бытие А является частью события В, оно обязательно происходит вместе с событием В, следовательно, каждый раз когда происходит событие А одновременно происходит событие АВ, и, наоборот, вся­ кий раз, когда происходит событие АВ, происходит и событие А, так как АВ означает, что одновременно произошли события А я В. Таким образом, убедились, что если A(zB, то АВ и А могут осу­ ществиться только вместе, а это и означает, что они эквивалентны. В примере 3 событие С обозначает, что игрок, получивший пер­ вую карту, получил все карты красной масти, Е обозначает, что первая карта при раздаче оказалась красной масти. Поскольку всякий раз, когда происходит событие С одновременно происходит

и событие Е, то C(ZE и СЕ = С.

Понятия суммы и произведения событий переносятся на любое

событие, состоящее в том, что одновременно осуществляются все события: А ъ Л 2, А3, . . . , Лп__2, Ап_ { и Ап.

В примере 2 событие С (по карточке можно получить выигрыш) является суммой событий D, Л4 и Аь (угадано число номеров крат­ ное трем, угаданы четыре, соответственно пять номеров) С = D + + А4 + Лй. В примере 3 событие АВС означает, что игрок, полу-

77

чивший первую карту, получил все карты красной масти и при этом первой картой был бубновый туз.

Произведение и сумма событий обладают следующими свойствами: 1) переместительным

АВ — «не происходит одновременно А и Б» эквивалентно событию А + В — «по крайней мере одно из событий А или В не происхо­ дит».

4.4.Поле событий. Пространство элементарных событий

Втеории вероятностей при построении математической модели или схемы некоторого опыта рассматривают множество, состоящее из всех событий, которые можно наблюдать в результате этого опыта, достоверного и невозможного событий. Такое множество

называют п о л е м с о б ы т и й . То обстоятельство, что событие А принадлежит полю F, обозначается символом А £ F, где £ знак принадлежности. Строгое, формальное определение поля событий

78

отражает следующие свойства событий, наблюдаемых в результате опыта. Если средства наблюдения позволяют определить, «прои­ зошло или не произошло в результате опыта события Л», то тем самым они позволяют определить «произошло или не произошло

в результате опыта и событие А». Аналогично, если наблюдая ис­ ход опыта можно сказать произошли или нет каждое из событий А и В, то можно сказать произошли или не произошли их сумма и произведение.

Сказанное позволяет дать следующее определение поля событий:

Определение 1. Полем F событий называется множество событий, обладающее следующими свойствами:

1)достоверное событие принадлежит полю: U^F;

2)если А у F, то и А у А;

3) если A ^ F для i = 1, 2, , . . , то и У М ^ Е . i

Соотношение 3 предполагается справедливым как для конеч­ ного набора событий, так и для любой последовательности собы­ тий, принадлежащих полю F.

Замечание. В формальном определении поля событий F не требуется, чтобы невозможное событие Л принадлежало полю F и чтобы произве­ дение принадлежащих полю событий также принадлежало полю F. Эти свойства можно не включать в формальное определение поля, так как они являются следствием свойств 1—3. Действительно, свойство Л£ F

следует из свойств 1 и 2, так как Л = U, а свойство ПА(- £ F, если i

Ai £ К_для г = 1, 2, . . . , следует из свойств 2 и 3, так как

влечет A i^ F и, следовательно, по 3 LM;£.F, но ввиду соотношений i

Пример 6. Пусть опыт состоит в том, что рабочим производятся детали определенного типа. Контролер ОТК может установить, является ли изготовленная деталь стандартной (событие А), является ли причиной брака детали плохое качество материала (событие В), или брак детали произошел по вине рабочего (событие С). Рассматриваемому опыту можно поставить в соответствие поле F, содержащее 16 различных событий:

U — достоверное; Л — невозможное;

А— деталь стандартная;

В— причиной брака детали является плохое качество материала;

С — деталь плохо изготовлена (брак по вине рабочего); А — деталь бракованная;

В — деталь изготовлена из доброкачественного материала;

С — рабочий изготовил деталь хорошо; ВС — деталь изготовлена плохо и из плохого материала;

А+ С — либо деталь стандартная, либо в ее браке виновен ра­

бочий;

А+ В — либо деталь стандартная, либо она изготовлена из пло­ хого материала;

ВС — деталь бракованная исключительно по вине рабочего; ВС — деталь изготовлена хорошо, но из плохого материала;

79