книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Точно также попарно независимы события Л и С, В и С. В то же время

Р (Л/ВС) = 1 ф Р (Л) = -^-. События Л, В и С попарно независимы,

но являются зависимыми в совокупности. Для вычисления вероятно­

Аналогичный смысл имеет понятие взаимной независимости ряда опытов. Говорят, что опыты из рассматриваемой совокупности опы­ тов независимы, если вероятности событий в каждом из этих опытов сохраняют одни и те же постоянные значения вне зависимости от того, какие события осуществились в любых других опытах этой совокупности. При этом формула (4.34) остается верной и в тех слу­ чаях, когда входящие в нее события At представляют возможные исходы различных независимых опытов.

Пример 20 (продолжение примера 11). Первое и второе бросание играль­ ного кубика можно рассматривать как два самостоятельных опыта или как один опыт, в котором совершается двухкратное бросание. В первом случае событие Л2 — при двух бросаниях игрального ку­ бика второй раз выпало не более трех очков — следует рассматривать как событие поля, соответствующего опыту, в котором наблюдается только число очков, выпавших при втором бросании, во втором — как событие поля, соответствующего опыту, в котором наблюдаются

не более трех очков — благоприятствуют события, изображенные клет­ ками, лежащими выше линии ab. Число этих событий т (ЛД = 18. Из них те 9, что находятся в квадрате aecf, благоприятствуют одновре­

то события Л 2 и независимы: информация о том, что при первом бросании выпало не более трех очков, не изменяет вероятности выпа-

100

дения не более трех очков при втором бросании. Точно также можно показать, что вероятность выпадения любого числа очков при втором бросании не зависит от числа очков, выпавших при первом бросании, и наоборот.

Таким образом, первое и второе бросание игрального кубика яв­ ляются независимыми опытами.

Пример 21. (продолжение примеров 12 и 17). Выбор первым и вторым студентом экзаменационных билетов можно рассматривать как два последовательно проводимых опыта. Тогда А — выбор счастливого билета в первом опыте, В — выбор счастливого билета во втором опыте.

Поскольку Р (А) = — ф Р (А/В) = — , то эти опыты зависимые.

56

4.11.Последовательность независимых одинаковых опытов

(схема Бернулли)

Схема Бернулли. В практических и теоретических задачах тео­ рии вероятностей часто приходится исследовать серии (последова­ тельности) опытов. Простейшей схемой таких опытов является схема Бернулли, в которой все рассматриваемые опыты независимы и одинаковы. Более точно, говорят, что проводится п опытов по схеме Бернулли, если в каждом из опытов может произойти собы­ тие А с постоянной, не зависящей ни от номера опыта, ни от резуль­ татов других опытов, вероятностью Р (А) = р.

Если в результате опыта событие А не происходит, то осущест­ вляется противоположное событие А с вероятностью

Рассмотрим событие Втп, заключающееся в том, что в п опытах, проведенных по схеме Бернулли, событие А осуществится ровно т раз. Индекс т, очевидно, может принимать любые значения от О до п: т = 0, 1, 2, . . . , п. В двух крайних случаях т = 0 и т = п вероятности событий Втп вычисляются особенно легко. В самом деле, событие Впп осуществляется, если во всех опытах происходит событие А. Обозначим через А, событие, состоящее в том, что в t-м опыте происходит событие А. Тогда

симы, то для вычисления Р (Впп) можно воспользоваться форму­

Аналогично В0п осуществляется тогда, когда событие Л не про­ исходит ни в одном опыте:

Воп ~ AiA2 . . . Ап,

откуда

• . Л„) = Р (Л 1)Р (Л 2) . . . Р ( А п) = д\ (4.37)

101

робно пример вычисления Р (В23).

Событие Вад означает, что событие А произошло в двух из трех опытов, что может осуществиться С\ = 3, исключающими друг друга способами: либо событие А пооизойдет в первых двух опытах,

а в третьем не произойдет (т. е. осуществится сооытие Л 1Л 2Л3), либо событие Л произойдет в первом и последнем опыте, а во втором

не произойдет (осуществится событие ЛхЛ2Л3), либо Л произой­ дет в последних двух опытах, а в первом не произойдет (осущест­

вится А гА 2А3). Таким образом, В23 можно представить в виде суммы несовместных событий

В23 = Л]Л2Л3+ AiA2A3-\- Л]Л2Лз.

Ввиду независимости опытов вероятность каждого из событий

Так как вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей, то

Р (В^з) — Р (ЛхЛ2Л3+ ЛхЛ2Л3 ЛХЛ2Лз) —

= Р (ЛхЛ2Л 3) + Р (Лх^42Л 3) -f- Р (ЛхЛ2Л 3) = 3p2q = Ctp2q{,

В общем случае событие Втп можно представить в виде суммы несовместных событий, каждое из которых означает осуществление события Л в опытах с т выбранными номерами П, Н, ■■■. tm, и не осуществление события Л в остальных (п—т) опытах.

Вероятности всех таких событий одинаковы (не зависят от того, какие номера выбраны, а зависят только от числа номеров т) и

равны pmqn~m. Число этих событий равно числу способов, кото­ рыми можно выбрать комбинации т номеров, отличающихся хотя

бы одним номером, из п номеров, т. е. равно С„- Рассуждая так же, как и выше, получим:

т\ (п — т)\

Число т часто называют числом успехов в последовательности п опытов, а р — вероятностью успеха. Формула (4.38) позволяет вычислить вероятность т успехов в п опытах. Формулы (4.36) и (4.37) получаются как частные случаи (4.38), если считать, что О! = 1.

102

Пример 22. В лаборатории работает пять приборов. Вероятность того, что прибор в течение недели потребует настройки, не зависит от со­ стояния других приборов и равна 0,4. Определить вероятность того, что в течение недели потребуют настройки не более двух приборов (событие D).

Р е ш е н и е . Работу приборов можно в силу условий задачи рассматривать как пять независимых одинаковых опытов. Вероятность настройки одного прибора (обозначим это событие А)Р (А) = р = 0,4. Соответственно, q = 0,6. Событие D является суммой трех событий: Воъ — не потребовал настройки ни один из пяти приборов; В1Ъ— по­ требовал настройки один и В25 — два из пяти приборов. По формуле

(4.38) находим:

Р (Воъ) = (0,6)5 и о,078;

Р (В15) = С^-0,4 (0,6)4 и 0,259;

Р (В2.) = С|? (0,4)2-(0,6)3 « 0,346.

Таким образом,

Р (D) = Р (Bos + Blt + В26) = Р (В05) + Р (B1S) + Р (В26) =

=0,078 + 0,259 + 0,346 = 0,683.

4.12.Формула полной вероятности и формула Байеса

бытие В можно представить в виде суммы попарно несовместных событий ВНг, ВН2, . . . , ВНп:

Это равенство следует из (4.6), (4.10) и означает, что в каждом опыте, где происходит событие В, обязательно происходит, хотя бы одно из событий Hlt Я 2, . . . , Нп (так как В частный случай

” \

события .U Ht I. Вместе с В в каждом опыте может происходить

только одно из событий Я (- (так как эти события попарно несов­ местны). Поскольку вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей, имеем:

Вычислим вероятность произведения событий BHt по формуле

(4.28):

Подставляя выражение для Р (ВН{) при всех i = 1, . . . , п из

(4.41) в (4.40), получим:

103

Формула (4.42) называется формулой полной вероятности. По этой формуле, зная для всех i = 1, 2, . . . , п вероятности Р (Я,) событий Нс и условные вероятности Р (В/Н{) события В при усло­ вии, что событие Ht имело место, можно найти полную (безуслов­

2 Р ( Я г)Р(В/Я£) (=1

Эта формула называется формулой Байеса или формулой послеопытных (апостериорных) вероятностей гипотез. Последнее назва­ ние объясняется следующим приложением формулы. Осуществле­ ние события В возможно с одним и только с одним из событий Hiy вероятности которых Р (Яг) оценены до опыта тем или иным путем. Эти вероятности называют доопытными (априорными). Известны также вероятности события В в предположении, что имеет место Я г (при гипотезе Я (). Пусть некоторый наблюдатель не может про­ верить по результатам опыта, какое из событий Нь т. е. какое из предположений (гипотез) в действительности осуществилось. Од­ нако, наблюдая в результате опыта событие В, можно по формуле (4.45) уточнить вероятности этих гипотез. Уточненные таким обра­ зом вероятности Р (HJB) гипотез Я г называются послеопытными (апостериорными).

Пример 23. Имеются три партии радиоламп. Вероятности того, что ра­ диолампа проработает 1000 часов, равны для лампы из первой партии 0,2, из второй — 0,4, из третьей — 0,5. Вероятности того, что лампа принадлежит первой, второй и третьей партии соответственно равны 0,25; 0,30; 0,45. Найти вероятность того, что радиолампа проработает

1000 часов.

Р е ш е н и е . Обозначим Hi событие, состоящее в том, что ра­ диолампа принадлежит i-й партии (г = 1, 2, 3), В — событие, состоя­ щее в том, что радиолампа проработает 1000 часов. По условиям за­ дачи:

104

Воспользовавшись формулой полной вероятности (4.42), находим:

Р (В) = 0,25-0,2 + 0,3-0,4 + 0,45-0,5 = 0,395.

Пример 24. Орудие ведет стрельбу по цели, расположенной на прямоли­ нейном участке MN, который мысленно разбит на пять небольших участков: МС+ С1В1, В1В2, В2С2, С2Ы (рис. 44). Точное местополо­ жение цели не известно, но некоторым образом определены вероятно­ сти того, что цель лежит на одном из перечисленных участков:

р (ВгВ2) = 0,48; Р (C iB j) = Р (В2С2) = 0,21; Р (МСг) = Р (C2N) = 0,05.

Первый выстрел производится по участку ВгВ2, на котором наи­ более вероятно находится цель. Если снаряд попадает на участок, содержащий цель, цель прекращает функционировать. Из-за неиз­ бежных ошибок стрельбы снаряд, направленный на участок ВгВ2, попадает на этот участок только с вероятностью 0,56. Вероятности

Если после разрыва снаряда цель продолжает функционировать, зна­ чит снаряд не попал на участок, в котором расположена цель. Так как промах — событие, противоположное попаданию, используя условия задачи, нах-одим:

Р (В/Н&) = 1 — 0,02 = 0,98.

По формуле Байеса (4.45) находим:

Р (Нг) Р (B/Hi)

Р (HilВ) =

2 Р (Hi) Р {В!Hi) i=i

0,05-0,94

0,05-0,94+ 0,21-0,82+ 0,48-0,44+ 0,21-0,84+ 0,05-0,98

0,05-0,94 = 0,072;

Для проверки правильности вычислений удобно воспользоваться

5

свойством 2 ^ ( В Д = 1.

( = 1

105

Пример 25. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,96. Проводится упрощенный контроль, в результате которого стандартное изделие пропускается в продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартное с вероятностью 0,05.

Какова вероятность, что изделие, дважды выдержавшее упрощен­ ный контроль, удовлетворяет стандарту.

Р е ш е н и е . Пусть Нг обозначает, что изделие стандартное, а Н2 •— бракованное, — изделие признано стандартным при первом упрощенном контроле, В2 —•изделие признано стандартным при вто­ ром упрощенном контроле, В — изделие дважды признано стандарт­ ным. Событие В происходит при одновременном осуществлении собы­ тий Вг и В2, т. е. В — ВгВ2. По условию задачи вероятность признать изделие стандартным при упрощенном контроле не зависит от того, подвергалось ли изделие контролю до этого, а зависит только от того, каким (стандартным или бракованным) является изделие в действи­

Р (BJHJ = Р (В2/Я х) = Р (BJBJPJ = 0,98;

Р (BJH%) = Р (В21Н2) = Р (B2/B i# 2) = 0,05.

По теореме умножения вероятностей для независимых событий находим:

Р (B/HJ = Р ( B M H J = Р (BJHx) Р ( А д а = (0,98)2;

Р (В/Я2) = Р (ВхВ^Я*) = Р (BJH2) Р (В2/Я 2) = (0,05)2.

Применяя формулу Байеса (4.45), находим, что изделие, выдержав­ шее двухкратное испытание, будет стандартным с вероятностью:

5.1. Понятие случайной величины

При изучении явлений, подчиненных вероятностным закономер­ ностям, часто интересуются количественными характеристиками, изменяющимися в зависимости от результатов опыта. Такими ха­ рактеристиками являются, например:

1)размер выигрыша по билету книжной лотереи;

2)сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости;

3)число успешных испытаний (испытаний, в которых произо­ шло событие А) в данной серии п опытов;

4)диаметры болта и гайки, поступивших на сборку;

5)ошибка при измерении расстояния между двумя пунктами;

6)координаты центра разрыва снаряда;

7)скорость перемещения частицы примеси в водоеме в фикси­ рованный момент времени;

8)время безотказной работы телевизора;

9)число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени.

106

Несмотря на разнообразие приведенных в качестве примера ве­ личин, все они обладают одним общим свойством: в результате опыта (т. е. в результате выполнения определенного комплекса ус­ ловий) каждая из перечисленных величин может принимать раз­ личные значения с теми или иными вероятностями. Такие величины называют случайными.

Определение 1. Случайной величиной называется величина, ко­

торая в данных условиях может принимать различные значения с соответствующими вероятностями.

Поскольку различные возможные значения случайные величины принимают, в общем случае, с различными вероятностями, то для того, чтобы изучать случайную величину, мало знать ее возможные значения, нужно еще знать, с какими вероятностями эти значения появляются.

Определение 2. Любое соотношение, устанавливающее связь ме­

жду всеми возможными значениями случайной величины и их вероят­ ностями, называется законом распределения (вероятностным рас­ пределением) случайной величины.

Чтобы задать случайную величину, нужно указать ее закон рас­ пределения.

Как видно из приведенных выше примеров, случайные величины могут быть как скалярными, так и векторными. Мы сначала под­ робно рассмотрим скалярные величины, возможными значениями которых являются вещественные числа. Будем обозначать такие случайные величины малыми греческими буквами |, 4’, Л и т. д.,

аих возможные значения малыми латинскими буквами х, у, z и т. д,

Взависимости от вида множества возможных значений выделяют два основных типа случайных величин; дискретные и непрерывные.

Дискретная величина принимает отдельные изолированные зна­ чения. Каждое из ее возможных значений л: обладает окрестностью, не содержащей других возможных значений этой величины. Все возможные значения дискретной случайной величины могут быть перенумерованы:

•• •> хп, .

Среди перечисленных случайных величин дискретными будут: 1) размер выигрыша по билету книжной лотереи; возможные

значения: 50 коп.; 1, 3, 5, 10 руб.

2) сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной ко­ сти; множество возможных значений состоит из всех целых чисел от 3 до 18;

3)число успешных испытаний в серии из п опытов; множество возможных значений состоит из целых чисел от 0 до п: 0; 1; 2; . . . ;

п\

4)число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени; множество возможных значений состоит из всех неотрицательных целых чи­ сел: 0; 1; 2; . . .

107

Замечание. В этом случае, так же как и в случаях 5 и 8, несколько идеа­ лизируется описание опыта, так как допускаются сколь угодно боль­ шие значения случайной величины. Допущенная идеализация обычно компенсируется подходящим выбором закона распределения, в соот­ ветствии с которым слишком большие (слишком малые) значения слу­ чайная величина принимает с очень малыми или равными нулю веро­ ятностями.

Возможные значения непрерывной случайной величины це­ ликом заполняют некоторый промежуток числовой оси, который может быть конечным или бесконечным.

Непрерывными случайными величинами являются:

1)диаметр болта, поступившего на сборку; множество возмож­ ных значений заполняет некоторый интервал [а, Ь], определяемый допусками;

2)ошибка при измерении расстояния между двумя пунктами; множество возможных значений состоит из всех вещественных чи­

ных значений является промежуток [ 0 , + о о ) .

5.2. Ряд распределения

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать, указав вероятность каждого из возможных значений слу­

чайной величины.

Определение. Функция, ставящая в соответствие каждому воз­

можному значению дискретной случайной величины его вероятность называется рядом распределения.

Ряд распределения может быть задан либо аналитически форму­ лой

либо таблично (см. пример 1), при этом, в верхней строке таблицы указываются возможные значения случайной величины, в нижней— их вероятности.

Для наглядности иногда строится график ряда распределения. Наносятся точки, абсциссами которых являются возможные значе­ ния хтслучайной величины £, а ординатами — их вероятности рт (рис. 45). Соседние точки соединяют отрезками прямых. Получен­ ную таким образом ломаную называют многоугольником распреде­ ления.

Иногда для наглядности используется «механическая» анало­ гия. При этом закону распределения дискретной случайной вели­ чины сопоставляется распределение единицы массы по точкам оси абсцисс таким образом, что точка хтимеет массу рт.

Заметим, что события £ = хт при различных т попарно не­ совместны, а их сумма (т. е. событие, состоящее в том, что случай­ ная величина примет одно из своих возможных значений) есть со­

108

бытие достоверное. Поэтому сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице:

Если дискретная случайная величина может принимать только конечное число значений, то слева в (5.2) стоит обычная сумма, если бесконечное, то левая часть равенства является сходящимся рядом, сумма которого равна 1.

Пример 1. Сумма очков т при двух бросаниях симметричной играль­ ной кости является случайной величиной, ряд распределения кото­ рой можно описать следующим образом:

числяются на основе классического определения вероятности, как в примере 11 гл. 4, где была вы­ числена вероятность р4 = Р (|=

= 4).

Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей, стоя­ щих во второй строке равна 1.

Биноминальное распределение.

Число успехов т в серии из п опытов задается (см. 4.38) рядом распределения:

Р=т) = CnPmqn~m, (5.3)

где р — вероятность успеха (появления события А) в одном опыте, <7 = 1 — р; т = 0, 1, 2, . . . , п.

Распределение, определяемое формулой (5.3), называется би­ номинальным, поскольку вероятности Р (£ = т) совпадают с коэф­

т. е. свойство (5.2) выполнено.

Распределение П уассона. Закон распределения дискретной слу­ чайной величины, ряд распределения которой определяется фор­ мулой

109