книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Свойство 6. Если функции / х (х, у, z) и f2 (х, у, z) таковы, что для всех точек области V справедливо соотношение

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим функцию Ф (х, у, z), определенную соотношением

Ф (х, у, z) = f1(x, у, z)—f2(x, у, z).

Из формулы (2.9) следует, что Ф (х, у, г) > 0. Применив к функ­ ции Ф \х, у, z) свойство 5, получим требуемое неравенство (2.10).

Свойство 7. Если числа т и М таковы, что для всех точек обла­ сти V справедливо соотношение

m^Cf(x, у, 2) < М ,

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свой­ ства 7 двойных интегралов, при этом имеет место формула, анало­

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свой­ ства 8 для двойных интегралов.

2.3. Вычисление тройных интегралов

Простая область в трехмерном пространстве. Понятие ’области простой в заданном направлении (см. §1.3), распространяется и на

40

что если V — простая область, то ее проекции на координатные оси также являются простыми областями.

Рассмотрим способы задания границы простой области V. Пусть

АА уР^Е^Р). «Левой стенкой» и х

«правой стенкой» являются соответ­

Рис. 22

ственно цилиндрические поверхно­ сти у = у1г (х) и у = г/22 (х). (Обра­

зующие этих поверхностей параллельны оси г, а направляющими являются линии, входящие в состав границы области Dz). Ниж­ ней и верхней границами области V являются поверхности

41

Эту форму задания границы области V будем называть канони­ ческой формой. Меняя порядок рассмотрения переменных, получим другие канонические формы задания границы области V. Очевидно, что существует 6 канонических форм задания границы области (столько, сколько существует различных перестановок трех объек­ тов). Приведем для примера еще две канонические формы задания границы области:

Трехкратные интегралы. Пусть в простой области V задана не­ прерывная функция / (х, у, г). Выберем произвольную точку с ко­ ординатами (х, у) из области Dz. При фиксированных значениях переменных х и у функцию / (х, у, г) можно рассматривать как функ­ цию одного переменного z, определенную в интервале [zx (х, у), z2 (х, у) ]. Если проинтегрируем в этих пределах функцию / (х, у, г) по' z (при фиксированных х и у), то получим результат, зависящий от зафиксированных значений переменных х и у, т. е. функцию от двух переменных х и у. Обозначив эту функцию F (х, у), имеем:

( * . у)

F{x, у) = J /(х , у, z) dz.

?l (X, у)

Итак, в каждой точке области Dz определена функция F (х, у). Будем считать, что эта функция интегрируема в области Dz и вы­ числим интеграл

[ (■F (х, у) dxdy. '°г

В этом двойном интеграле расставим пределы интегрирования. Так как это можно сделать двумя способами, то получим одно из

Величины Izyx и Izxy, получающиеся в результате трехкратного интегрирования функции / (х, у, z), называются трехкратными (или

.повторными) интегралами от функции f (х, у, z) по области V, при­ чем нижние индексы указывают на порядок интегрирования.

Легко заметить, что меняя порядок интегрирования, можно по­ лучить всего шесть видов трехкратных интегралов, каждый из ко­ торых соответствует одной из канонической форм задания границы

42

области V. Так, например, канонической форме задания границы V (2.16) соответствует трехкратный интеграл:

Вычисление тройного интеграла с помощью трехкратного. По­ добно тому, как двйной интеграл вычисляется с помощью двух­ кратного интеграла, тройной интеграл может быть выражен через трехкратный интеграл. Имеет место теорема, которую сформули­ руем без доказательства.

Теорема. Если функция f (х, у, г) интегрируема в простой об­

ласти V, то тройной интеграл от этой функции по области V равен любому из ее трехкратных интегралов по этой области.

Формула

является одной из шести возможных реализаций сформулирован­ ной теоремы.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл

Расставляя пределы по формуле (2.17), получим:

Подставляя этот результат в трехкратный интеграл, получим:

2 з

7 = j dx j ( х у -\-О ,Ъ) dy.

\2

Вычислим внутренний интеграл (по переменной у):

43

Пример 2. Вычислить тройной интеграл

J = | [ J куг dxdy dz, v

где область V — часть шара х2 + у2 + z2 = 2, заключенная между координатными плоскостями у = 0 и г = 0, цилиндрической поверх­ ностью у = х2 и плоскостью х = 1 (рис. 24). Граница области F мо­ жет быть задана в следующей канонической форме:

Ри с . 24

Тогда тройной интеграл' может быть представлен трехкратным:

о2 о

Подставляя этот результат в трехкратный интеграл, имеем:

44

Учитывая этот результат, имеем:

J

Замечание. Легко убедиться, что этот же результат получается и при

любом другом порядке интегрирования. Например, если задать гра­ ницу V в виде (2.15)

Если область V не является простой, то формула (2.17) применима в том случае, когда область V может быть разбита на конечное число простых областей.

2.4. Замена переменных в тройном интеграле

Формула замены переменных в тройном интеграле. Пусть тре­ буется вычислить тройной интеграл [от непрерывной функции f (х, у, z) по простой области V:

J = jj [ j f (х, у, z) dxdydz.

У j

Пусть заданы функции, связывающие переменные х, у, г с пе­

Будем считать, что формулы (2.18) устанавливают взаимно­ однозначное соответствие между точками области V пространства с системой координат Oxyz и точками области У пространства с си­ стемой координат Oyxvt. Предположим, что функции (2.18) опре­ делены и непрерывны вместе со своими частными производными

45

в области V . Составим по аналогии с формулой (1.34) якобиан пре­ образования

Аналогично тому, как это было сделано для двойных интегралов (см. § 1.4), можно показать, что абсолютное значение якобиана, вычисленное в некоторой точке области V , геометрически может трактоваться как коэффициент растяжения объемов в окрестности данной точки при преобразовании (2.18), т. е.

объем соответствующей частичной области Vk, содержащейся в V ;

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам. Цилиндрическими координатами * называется система координат, в которой положение точки А пространства определяется коорди­ натами ср, г, z, где ф, г — полярные координаты в плоскости Оху точки А' — проекции точки А на плоскость Оху (рис. 25); г — ап­ пликата точки А.

Декартовы координаты точки А связаны с ее цилиндрическими координатами формулами х — г cos ф, у = г sin ф, z = г.

Вычислим якобиан этого преобразования:

* См. [3], § 1.5.

46

Подставив этот результат в формулу (2.19), получим формулу перехода в тройном интеграле к цилиндрическим координатам:

Переход в тройном интеграле к сферическим координатам. Сфе­ рическими координатами называется система координат, в которой* положение точки А определяется координатами 0, ср, г, где г — расстояние от точки А до начала координат; 0 — угол между векто­ ром ОА и осью 2, ф — угол между вектором ОА' и осью х (А' — про­ екция точки А на плоскость Оху) (рис. 26).

jj|§ Декартовы координаты точки А связаны с ее сферическими ко­ ординатами формулами:

— r sin 0 sin ф (r cos2 0 sin ф + r sin2 0 sin ф) —

-r sin 0 cos ф (r cos2 0 cos ф + r sin2 0 cos ф) =

—r2 sin 0 sin2 ф— r2 sin 0 cos2 ф = — r2 sin 0.

*Cm. [3], § 1.5.

47

Таким образом

I = — r2sin 0.

Подставив этот результат в формулу (2.19), получим формулу перехода в тройном интеграле к сферическим координатам:

[ Сj f (х, у, z) dxdydz=

V

г sin 0 cos cp, rsin0sinq),rcos0)r2sin0dq)d0dr. (2.21)

2.5.Приложения тройных интегралов

Вычисление объемов тел. Пусть тело занимает в пространстве область V. Как показано выше, объем v этого тела может быть вы­ числен по формуле (2.12):

v — ГГ Гdxdydz. v

Пример 3. Вычислить объем v эллипсоида:

а2 Ь2 с2

Обозначим область, ограниченную этим эллипсоидом, V, тогда

V

Сделаем замену переменных:

х = ar sin 0 cos ф; у — br sin ф sin 0; z — cr cos 0.

Якобиан I этого преобразования равен:

48

Переходя к трехкратному интегралу, получим:

Вычисление массы тела. Пусть в области V распределена масса с плотностью f (х, у, г), где f (х, у, г) — непрерывная положительная функция, определенная в области V (будем в этом случае область V называть телом). Как было показано ранее (2.3), масса М тела~К может быть вычислена с помощью тройного интеграла:?

М = j j J / (x,'ry, "z) dxdydz.

Пример 4. Вычислить массу шара, плотность любой точки которого про­

M = k j f [ rs sin Bd&dqdr.

J y , - >

Заметим, что для любого г из промежутка [0, R ] переменная 0 может принимать любое значение из промежутка [0, я] и независимо от г и <р переменная ф может принимать любые значения из проме­ жутка [0, 2л]. Следовательно, граница области V' может быть пред­ ставлена в виде

Переходя к формуле (2.22) к трехкратному интегралу, соответст­ вующему указанной канонической форме задания границы V', имеем:

вычисление моментов тел. Пусть в области V распределена масса с плотностью / (х, у, z) (/ (х, у, z) — непрерывная положительная