книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

функция, определенная в области У). Аналогично тому, как это было сделано для плоских областей (см. § 1.5), вводятся понятия статических моментов и моментов инерции области V относительно координатных осей и координатных плоскостей.

Введем следующие обозначения: Sx, Sy, Sz — статические мо­ менты тела V относительно координатных осей х, у, г; Sxy, Syz,

инерции тела V относительно координатных плоскостей Оху, Oyz, Oxz.

Возьмем в области V произвольную точку с координатами (х, у, г). Расстояния этой точки до координатных осей и координат­

Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые привели нас к формулам (1.57), (1.58), получим следующие формулы:

50

пределения массы пропорциональна квадрату расстояния до плоско­

сти Оху:

]5 (х, у, z) — kz2 (k — const).

Применяя формулы (2.23), получим:

Легко видеть, что интервалы изменения цилиндрических коорди­ нат ср, г, z не зависят друг от друга:

0 < ф < 2л; 0 < г < R; 0 < z < а.

Расставляя пределы в тройном интеграле (2.24), имеем:

Вычисление координат центра масс тел. Определение центра масс, сформулированное ранее (см. § 1.5), обобщим на случай трех­ мерной области V. Центром масс трехмерной области будем назы­ вать точку, обладающую следующим свойством: если в эту точку поместить материальную точку с массой, равной массе всей области, то статический момент этой материальной точки относительно лю­ бой координатной плоскости равен статическому моменту самой области относительно этой же координатной плоскости. Пусть (хц, г/ц, 2Ц) — координаты центра масс области V. Тогда согласно определению имеем:

Используя формулы (2.23); (2.3), получим:

в примере 3. Вычислим сначала массу этого цилиндра:

М __ J J | kz2 dxdydz. v

Перейдем, как и в примере 5, к цилиндрическим координатам:

Из соображений симметрии относительно оси z (и цилиндр, и плот­ ность распределения массы симметричны относительно оси z) очевидно, что центр масс находится на оси z, т. е. хц = уц = 0. Вычислим гц, воспользовавшись результатом примера 5:

Таким образом, центр масс рассматриваемого цилиндра имеет

координаты (о, 0, -5 - а |

Г л а в а 3

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Криволинейные интегралы первого рода

Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла пер­ вого рода. Пусть требуется найти массу тяжелой нити. Под нитью будем понимать тело, двумя размерами которого можно пренебречь по сравнению с третьим размером (длиной). Под словами «тяжелая нить» будем понимать кривую линию с распределенной вдоль нее массой. Рассмотрим плоскую кривую АВ. Пусть в каждой точке кривой определена непрерывная положительная функция / (х, у), равная плотности распределения массы вдоль кривой. Разделим кривую АВ на п частей (частичных кривых) следующими друг за другом точками M lt М 2, ■■.,Мп- 1 (рис. 29). В каждой k-ой части кривой Mk-\Mk (к — 1, 2, . . . , п) (будем считать, что точка М0

52

совпадает с точкой А, а точка Мп совпадает с точкой В) выберем

по произвольной точке Pk (xk, yk). Будем считать, что вдоль частич­ ной кривой Mk-\Mk масса распределена равномерно с плотностью,

равной значению функции f (х, у) в выбранной точке, т. е. f (xk, yk). Обозначим длину k-ой части кривой через Д/ь ее масса приближенно

равна величине / (xk, yk) Alk. Суммируя массы всех частичных кривых, получим приближенное значение массы всей кривой:

М = 2 •/(**, yk) Alk. k=i

Введем величину Кп, называемую рангом дробления кривой и определяемую равенством

%n = max{Alk} (k=\, 2, . . . , п).

Очевидно, что при Кп 0 стремятся к нулю одновременно длины всех частичных кривых. За массу кривой следует принять величину, которая не зависит ни от способа

ние предела типа (3.1) лежит в основе определения криволинейного интеграла первого рода. Сформулируем теперь это определение, не связывая его с физическими величинами.

Пусть в плоскости Оху задана кривая L в каждой точке которой определена функция f (х, у). Разобьем кривую L на п частичных кривых, занумерованных последовательно от начальной точки А до конечной точки В: L1; L 2, . . . , Ln, не имеющих общих внутрен­ них точек. Обозначим длины этих частичных кривых соответственно А1Ъ А12, ■■■, А/„ (заметим, что А 4 > 0 для всех k). Наибольшую из этих длин назовем рангом дробления кривой и обозначим через Кп. В каждой частичной кривой Lk (k — 1, 2, . . . , п)-выберем по

53

произвольной точке Pk (xk, yk) и составим интегральную сумму:

Ук)А1к-

k=i

Если при стремлении к нулю ранга дробления кривой сущест-

П

k=i

способа дробления кривой, ни от выбора точек Pk (xk, yk), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции / (х, у) по кривой L от точки Л до В и обозначается

J f (X, у) dl или | f (х, у) dl.

Используя это определение, формулу (3.1) можно записать в

L

т. е. если масса распределена вдоль кривой L, то она может быть представлена криволинейным интегралом первого рода от плотно­ сти, вычисленным вдоль рассматриваемой кривой.

Сформулируем без - доказательства теорему, указывающую на класс функций, для которых существует криволинейный интеграл первого рода.

Теорема. Если функция f (х, у) непрерывна вдоль кривой L,

а множество значений функции, вычисленных в точках кривой ог­ раничено, то существует криволинейный интеграл первого рода от функции f (х, у) вдоль кривой L.

Свойства криволинейного интеграла первого рода. Рассмотрим простейшие свойства криволинейных интегралов первого рода, считая, что все указанные ниже интегралы существуют.

Свойство 1.

54

Д о к а з а т е л ь с т в о . Разделим кривую L на я частей, включив в число точек деления точку, делящую кривую L на части и L 2. Тогда каждая из я частичных кривых принадлежит цели­

ком или кривой L± или кривой L 2. Это позволяет разбить сумму

П

2 f ( x k> Ук) Alk на две суммы: в одну сумму включить слагаемые, fc=i

Нижние индексы, стоящие под суммами в правой части равен­ ства, указывают, к каким кривым относятся слагаемые данной суммы. Переходя в этом равенстве к пределу при кп -* 0, получим доказываемое равенство (3.6).

Свойство 4. Величина криволинейного интеграла первого рода не изменится, если изменить направление интегрирования. Если А и В — конечные точки кривой АВ, то

J /(*• y)dl= | f(x, y)dl.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим формулу (3.2). Все сла­ гаемые суммы, стоящей в правой части равенства, имеют вид

/ {хьУк) Aik- При изменении направления интегрирования не ме­ няется ни значение функции f (xk, yk), ни длина k-ой частичной кривой Alk. Отсюда следует, что величина интеграла (3.2) также не изменится при изменении направления интегрирования.

Сведение криволинейного интеграла первого рода к определен­ ному интегралу. Пусть кривая L, вдоль которой вычисляется кри­ волинейный интеграл первого рода от функции / (х, у), задана па­ раметрическими уравнениями:

x = x(t); у = у (t); ( а < Д < Р ) .

Будем считать, что функции х (t) и у (t) непрерывны в [а, р] и имеют в этом промежутке непрерывные производные х' (/) и у' (7). Разобьем кривую L на п частей, этому разбиению соответствует раз­ биение промежутка [а, р] на я частей:

a = n 0 < ^ < ^ 2 < . . . < t n= р.

Вычислим длину k-оц частичной кривой, воспользовавшись фор­ мулой для вычисления дуги плоской кривой:*

*k t_______________________

А/ * = J У W (t)]2+ [y' (t)]2dt (k= 1, 2, . . . , я).

1k—\

*См. [2], формула (7.12).

55

Составим интегральную сумму для функции f (х , у) вдоль кри­

вой L, при этом в качестве произвольных точек Pk (xk, yk) выберем точки, координаты которых определяются равенствами:

получим:

ljf(Xh> Ук)Ык.

к= 1

Подставив в эту интегральную сумму формулы (3.7) и (3.8), получим:

при этом стремится к нулю и величина Кп, определяемая равенст­ вом:

А,я = шах{А^) (k— l, 2, . . . . п).

Получим:

Р __________________

так как именно при этом условии справедлива формула для вычис­

интегралом, стоящим в правой части равенства, следует поставить знак «—» (это следует из того, что определенный интеграл меняет знак при изменении направления интегрирования). В некоторых случаях бывает полезно, чтобы формула, связывающая криволи­

5R

как для случая а > р , так и для случая р > а . Тогда формула (ЗЛО) может быть записана в следующем более общем виде:

Здесь использована функция Sign х, определяемая равенством

1,'если х--\> 0;

Signx =

— 1, если х < 0.

В частном случае, если кривая L задана в явной форме у = у (х) (a<ix<i6), то формула (ЗЛО) принимает вид:

Криволинейный интеграл первого рода по пространственной кривой. Понятие криволинейного интеграла первого рода, введен­ ное для плоской кривой L, легко обобщается на случай, когда L — пространственная кривая, в каждой точке которой задана функция / (х, у, z). Формула (3.2) в этом случае принимает вид:

Легко видеть, что приведенные выше свойства 1—4 справед­ ливы и для криволинейного интеграла первого рода, вычисленного вдоль пространственной кривой.

Если кривая L задана параметрически

x = x(t), y — y(t), z = z(t) (as^t^P ),

то имеет место формула, аналогичная формуле (ЗЛО):

J / (х, у, z) dl =

L

f>

= j / [х(0, у(1), г Ц ) \ У [x'(t)]2+\y'(t)]2+[z'(t)]2di. (3.15)

а

Эта формула, справедливая лишь при 3 > а , может быть обоб­ щена на случай, когда соотношение между 3 и а не заданы, т. е.

57

имеет место формула, аналогичная формуле (3.11):

у= х2 от точки (0, 0) до точки (2, 4). Воспользуемся формулой (3.12):

58

в плоскости Оху задана кривая L (АВ), в каждой точке которой определена функция f (х, у). Разобьем эту кривую на п частей (ча­ стичных кривых) L 1; L 2, . . . , Ln. Обозначим, как и ранее, через %п— ранг дробления кривой, т. е. наибольшую из длин частичных кривых Lk (k = 1, 2, . . . , п). Пусть ДхА и Аyk — проекции k-ой частичной кривой L на оси координат. В каждой из частичных кри­ вых Lk выберем по точке Р (xk, yk).

Составим интегральную сумму:

П

И Н ч , ук) Ач -

к= 1

Если при стремлении к нулю ранга дробления кривой сущест­ вует конечный предел этой суммы, не зависящий ни от способа раз­ биения кривой L на части, ни от выбора точек Pk (xk, yk), то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по ко­

59