книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Заметим, что определения криволинейных интегралов второго рода отличаются от определения криволинейного интеграла первого рода тем, что при составлении интегральных сумм значения функ­ ций в выбранных точках f [xk, yk) умножаются не на длину &-ой кривой Alk, а на проекцию этой кривой на соответствующую ко­ ординатную ось.

В большинстве приложений бывает полезно совместно рассмат­ ривать оба интеграла (3.17) и (3.18), вычисленные от разных функ­ ций, но вдоль одной и той же кривой. Пусть в каждой точке кривой заданы две функции Р (х, у) и Q (х, у). Пусть существуют интегралы

В дальнейшем для упрощения терминологии криволинейный интеграл второго рода «общего вида» будем называть просто криво­ линейным интегралом. Для криволинейных интегралов справед­ лива теорема существования, аналогичная теореме существования криволинейных интегралов первого рода. Сформулируем ее без

доказательства.

Теорема. Если функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вдоль

кривой L, а множество значений этих функций, вычисленных в точ­ ках кривой L, ограничено, то существует криволинейный интеграл типа

J Р{х, y)dx+Q (x, у) dy.

L

Физический смысл криволинейного интеграла. Пусть в плоско­ сти Оху движется материальная точка, описывающая кривую L, и пусть в каждой точке этой кривой на материальную точку дейст­ вует сила F (х, у), заданная равенством:

где Р (х, у) и Q (х, у) — функции, определенные и непрерывные в каж­ дой точке кривой L. Требуется вычислить работу, совершаемую силой F (х, у) при перемещении материальной точки вдоль кривой L от точки А до точки В. Разобьем кривую L (рис. 30) на п частей следующими друг за другом точками М 1у М 2, . . . , М „_ ь коор­ динаты которых обозначены (xk, yk) (рис. 30). Пусть радиус-вектор этих точек обозначен соответственно rk (k = 1, 2, . . . , п), причем точка А совпадает с точкой М0, а точка В — с точкой /VIп. Вектор — перемещение материальной точки вдоль &-ой частичной кривой может быть записан в виде

60

Координаты этого вектора обозначим соответственно Ахк и Дук:

2, . . . , п) на материальную точку действует постоянная сила F (хк, ук), равная силе, действующей в некоторой произвольно

выбранной точке Pk (xk, yk), лежащей на частичной кривой Мк—\Мк (заметим, что ошибка, которую при этом делаем, уменьшается при уменьшении ранга дробления кривой). Тогда работа Ak, совершае­ мая силой F (х, у) на перемеще­

нии Атк может быть приближенно вычислена, как скалярное произ­ ведение вектора— силы на вектор— перемещение:-

Ак.= F (xk, ук)А rk.

Для суммы работ, совершенных силой F (х, у) на частичных кри­ вых, получим:

А= '£ F (хк, yk) Arh. (3.22) k=x

Записав скалярное произведение в координатной форме, полу­ чим:

А = ;1 2 [Р(хк, Уk) Axk+ Q (xk, yk)Ayk].

Перейдем в этом равенстве к пределу при стремлении к нулю ранга дробления кривой. С учетом формул (3.17), (3.18) и (3.19) получим:

Заметим, что равенства (3.20) и (3.21) дают основание записать криволинейный интеграл (3.19) в векторной форме, т. е. как интег­ рал от скалярного произведения векторных величин:

Таким образом, работа переменной силы вдоль некоторой кри­ вой может быть выражена криволинейным интегралом.

Свойства криволинейного интеграла. Для упрощения записи свойств криволинейных интегралов будем записывать их в вектор­ ной форме, считая, что все рассмотренные интегралы существуют.

61

Свойство 1.

где c — произвольная постоянная.

Свойство 2.

Свойства 1 и 2 вытекают из определения криволинейного интег­ рала с учетом соответствующих свойств скалярного произведения векторов.

Свойство 3. Если кривую L разбить на две части Lx и L 2, не имеющие общих внутренних точек, то

Доказательство этого свойства совершенно аналогично доказа­ тельству соответствующего свойства криволинейного интеграла первого рода.

Свойство 4. При перемене направления интегрирования криво­

При изменении направления интегрирования значения вектор­

ной функции F (хк, yk) не меняются, а векторы ДгА меняют направ­ ления на обратные, следовательно, скалярные произведения F {xk, yk) ДгА (k = 1, 2, . . . , п) изменят знаки. Таким образом, изменит знак вся интегральная сумма и, следовательно, будет иметь место равенство (3.25), что и требовалось доказать.

Сведение криволинейного интеграла к определенному интегралу. Пусть кривая L, вдоль которой вычисляется криволинейный ин­ теграл, задана параметрическими уравнениями:

•* = х (0, у = у (0»3

Будем считать, что функции х (t) и у (t) непрерывны в проме­ жутке [а, р ] и имеют в этом промежутке непрерывные производные х' (t) и у' (t). Пусть разбиению кривой L на п частей соответствует разбиение промежутка [а, р ] на п частей:

а = < h < t2< . . . < tn = р.

62

Составим интегральную сумму 2 f(xk> Ук)^хк- Величины Дхь

k = \

входящие в эту формулу, могут быть преобразованы по формуле Лагранжа:

Так как при кп -*■ 0 стремится к нулю и max {Atk}, то выражение, стоящее в правой части равенства, совпадает по определению с оп­ ределенным интегралом по переменной С т. е.

J7(*. y)dy = ]f{x(t), y(t))x'(t)dt.

Аналогично может быть вычислен и интеграл (ЗЛ8):

Таким образом, преобразование криволинейного интеграла со­ стоит в замене х и у на функции от переменной t, a dx и dy на диф­

Формулы (3.26) и (3.27) позволяют вычислять криволинейный интеграл с помощью определенного.

Криволинейный интеграл по пространственной кривой. Понятие криволинейногр интеграла, введенное для плоской кривой L, легко обобщается на случай, когда L — пространственная кривая. Пусть

63

в каждой точке кривой L задана векторная функция F (х, у, г), которая может быть представлена в виде:

Fj(x, у, z) = P(x, у, z ) i + Q ( x , у, z)j + P(x, у, г) к.

Заметим, что задание в пространстве одной векторной функции F (х, у, z) равносильно заданию трех скалярных функций Р (х, у, г),

Q (х, у, z) и R (х, у, z).

Криволинейный интеграл по пространственной кривой L опре­ деляется формулами, аналогичными формулам (3.17), (3.18), (3.19) и может быть записан как в векторной, так и в скалярной форме:

Очевидно, что приведенные выше свойства 1— 4 криволиней­ ных интегралов справедливы и для криволинейного интеграла, вычисленного вдоль пространственной кривой.

Если кривая L задана параметрически:

x = x{t), y = y(t), z = z(t), ( a < i f < P ) ,

то справедлива формула, аналогичная формуле (3.26):

Подставим в интеграл выражение для х, у, dx, dy:

х = Р; у — Р; dx = 3t2dt; dy = 2tdt.

Получим согласно формуле (3.26):

У = J [(р _| 1*) ЗР + (Р — Р) 21] dt = | (ЗР + ЗР + 2Р — 2Р) dt =

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл У = J xydx -f- -У—dy, гдэ

L х

кривая L — парабола у = х%от точки (1, 1) до точки (2, 4). Учитывая, что у' = 2х и 1 < х <2, получаем в соответствие с формулой (3.27):

64

1 1

/ = J х2п+2 (хп + пхп) dx = ( n + 1) Г х3п+2 dx =

Заметим, что при разных п получаем разные кривые, проходящие через точки А и В. Результаты интегрирования вдоль всех этйх кривых оказываются равными, т. е. не зависящими от пути интегрирования.

3.3. Формула Грина

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Рассмотрим криволинейный интеграл:

J = I Р (х, y)dx+Q (х, у) dy. L

Если конечная и начальная точки кривой L совпадают, то кри­ вая называется замкнутой кривой или замкнутым контуром. В слу­ чае, когда требуется подчеркнуть, что криволинейный интеграл вычисляется по замкнутой кривой, его обозначают так:

J = § Р(х, у) dx+ Q (х, у) dy.

L

Будем считать, что кривая L не имеет точек самопересечения и является границей простой области D (см. § 1.3). Пусть граница области D может быть задана в одной из канонических форм (1.19)

или (1.21).

Как видно из § 3.2, направление интегрирования влияет на ре­ зультат интегрирования (см. свойство 4). При интегрировании вдоль незамкнутых кривых направление интегрирования опреде­ ляется заданием начальной и конечной точек.

При интегрировании вдоль замкнутого контуранаправление интегрирования не определяется заданием начальной и конечной точек, так как они совпадают. Для того, чтобы понятие криволи­ нейного интеграла вдоль замкнутого контура было однозначным, одно из двух возможных направлений обхода замкнутого контура принимается за положительное направление и при отсутствии спе­ циальных оговорок все криволинейные интегралы вдоль замкнутого контура вычисляются в этом направлении.

Определение. Положительным направлением обхода замкнутой

кривой называется то направление, при котором ближайшая к на­ блюдателю часть области, ограниченной кривой, оказывается слева от наблюдателя, совершающего обход. Заметим, что все результаты,

которые будут нами получены в предположении, что область D ■простая, легко обобщить на случай, когда область D не является

65

простой, но может быть разбита на конечное число простых обла­ стей. Сформулированное выше определение положительного на­ правления обхода замкнутой кривой применимо и для случая, когда область D не является простой. На рис. 31 изображена простая об­ ласть D x и область D a, не являющаяся простой. Для обеих областей указано положительное направление обхода. Заметим, что для про­ стой области положительное направление обхода совпадает с об­ ходом против часовой стрелки.

Формулировка теоремы Грина. Теорема. Если в замкнутой про­ стой области D определены и непрерывны функции Р (х, у) и

где L — граница области D.

Формула (3.29) называется формулой Грина. Она выражает интеграл по области D через интеграл по ее границе L.

Замечание. Отметим некоторую кажущуюся странность формулы Грина.

В левой части равенства (3.29) переменные х н у входят, на первый взгляд, «на равных правах», или, как иногда говорят, «симметрично». Действительно, если поменять местами х с у и Р с Q, то выражение не изменится. При этом может вызвать удивление тот факт, что в правой части равенства только у одного из слагаемых появляется знак «—». Где же скрытая «несимметричность» переменных х н у , входящих в ле­ вую часть равенства? Оказывается, что «несимметричность» появилась с выбором положительного направления обхода замкнутой кривой. Например, чтобы совместить оси х н у кратчайшим вращением, надо или ось х вращать в положительном направлении (против часовой стрелки), или ось у вращать в отрицательном направлении, (т. е. по часовой стрелке). Таким образом, относительно вращения (обхода замкнутой кривой) переменные х и у не «симметричны», в результате чего правая часть формулы Грина (3.29) «несимметрична» относительно х и у. Заметим, что если за положительное направление обхода замкну­ той кривой принять направление, противоположное принятому, то в формуле Грина изменятся знаки у слагаемых, входящих под знак двойного интеграла.

6Б

изменим направление, чтобы оно совпадало с направлением воз­ растания х. Тогда, заменяя криволинейные интегралы определен­ ными, получаем:

веденному доказательству формулы (3.30). Итак, формула Грина доказана.

67

Пример 7. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл

J= f (х2+ у3) dx + (3ху2+ x)dy,

1

Получившийся интеграл согласно формуле (1.16) численно равен площади области D, т. е. nR2.

Окончательно получаем: J — nR2.

3.4.Условия независимости криволинейного инкеграла от пути

интегрирования

Постановка задачи. Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) опреде-

dQ

лены и непрерывны вместе со своими частными производными —

дх

целиком лежит в области G). Возможны случаи, когда результаты интегрирования вдоль любой кривой, лежащей в G и соединяю­ щей точки А я В, совпадают, т. е. при интегрировании от точки А до точки В криволинейный интеграл не зависит от пути интегриро­ вания. Если это справедливо для любых двух точек из области G, то такой криволинейный интеграл называется не зависящим от пути интегрирования.

L

Условие 1. Равенство нулю криволинейных интегралов по замк­ нутым контурам.

Теорема 1. Для того, чтобы в области G криволинейный интег­

рал не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл J Р (х, у) dx+Q (х, у) dy по любому

L

замкнутому контуру, целиком лежащем в G, был равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Необходимость. Пусть криволи­ нейный интеграл в области G не зависит от пути интегрирования. Докажем, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кон­ туру из G равен нулю. Возьмем произвольный контур L и выберем

68

на нем произвольные точки А , В , М , N , расположенные так, как показано на рис. 33. Обозначим кривую АМВ буквой Ьъ а кривую ANВ — L 2. Обе кривые соединяют точки А и В и, следовательно,

&Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0.

L

Применяя свойство 3 криволинейных интегралов, получим ра­ венство (3.34), откуда следует равенство (3.33) и затем (3.32), ко­ торое и требовалось доказать.

ный интеграл в области G не зависел от пути интегрирования, не­ обходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выпол­ нялось равенство:

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Достаточность. Возьмем в области G произвольный замкнутый контур L. Область, ограничиваемую этим контуром, обозначим буквой D. Применим формулу Грина

(3.29).

69