книги из ГПНТБ / Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие

Применяя к сумме, стоящей в правой части равенства, свойство 2 двойных интегралов (аддитивность относительно области интегри­ рования), получим:

v = H\f(x, y)\dxdy.

правляющей для которой служит граница области D, а образую­ щая параллельна оси z, может быть определен по формуле (1.45).

Пусть в области D определены две непрерывные функции (х, у) и /г (х, у), причем для всех точек области D справедливо неравенство

fi(x, y)<h(x, у).

Рассмотрим тело, ограниченное поверхностями /ф (х, у), f2 (х, у) и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой слу­ жит граница области D, а обра­ зующая параллельна оси г. Оче­ видно, что это тело (на рис. 18 тело АВСЕА'В'С'Е') можно рассмот­

реть как разность цилиндроидов, построенных над областью D функ­ циями /ф (х, у) и / 2 (х, у). Пусть объемы этих цилиндроидов v2 и vv Тогда объем v рассматриваемого тела равен:

икоординатными плоскостями.

Ре ш е н и е . Обозначим буквой D область, заштрихованную на рис. 19. Тогда по формуле (1.44) имеем:

30

Прямая А В в плоскости Оху имеет уравнение

Расставляя пределы интегрирования в интеграле (1.48), получаем:

v = ^ 'd x J с^ 1 -----^------- (1.49)

оо

Вычислим внутренний интеграл:

Подставив этот результат в (1.49), получим:

а

о

Заметим, что ответ легко проверяется с помощью элементарной геометрии, так как рассматриваемое тело — пирамида:

v = —— S0Cvh = — (-J- ab] с = — аЪс.

Вычисление площади поверхности. Рассмотрим поверхность, за­ данную уравнением z = f (х, у). Пусть в области D функция / (х, у) непрерывна и имеет в этой области непрерывные частные производ­

из поверхности z = f (х, у) цилиндром, построенным на области D, т. е. цилиндром, образующая которого параллельна оси г, а направ­ ляющая является границей области D. Обозначим эту поверхность Q. Надо дать определение для величины, которую будем принимать за площадь указанной поверхности, и вывести формулу для вычис­ ления этой величины. Разобьем область D на п частей Dk, площади которых обозначим через Ask (k = 1, 2, . . . , п). В каждой из об­ ластей Dk выберем по точке (xk, yk). Через каждую точку прост­ ранства с координатами (xk, yk, f{xk, yk))'проведем плоскость, ка­ сательную к поверхности z = f (х, у). Цилиндры, построенные на частичных областях Dk, «вырежут» из поверхности П частичные

поверхности ЙА, а из касательных плоскостей — части Qk, пло-

31

щади которых обозначим Aok (рис. 20). Под площадью поверхности fi будем понимать величину а, определяемую равенством

Выведем формулу для вычисления площади поверхности. Из геометрии известно, что

Ask

Дщ. (1.51) cos yfe

z

У

где yk— угол между касательной плоскостью, проведенной к по­ верхности в точке (xk, yk, f (xk, yk)), и плоскостью Оху. Уравнение касательной плоскости имеет вид*:

Из аналитической геометрии известно, что угол у между пло­ скостью Оху и плоскостью

А (х—х0) + В (у—у0) + С (z—z0) = 0

определяется равенством

У Л2+ 5 2 + С2

Применяя это к плоскости (1.52), получим:

32

Подставив равенство (1.53) в равенство (1.51), получим:

Подставив это равенство в формулу (1.50), имеем:

По этой формуле и вычисляется площадь части поверхности z ■ = f (х, у), расположенной над областью D.

Пример 10. Вычислить площадь поверхности верхней половины шара:

(перед радикалом взят знак «+ », так как требуется вычислить площадь поверхности верхней половины шара). Вычислим частные производные

Получим:

a = R

D'

33

Расставляя пределы по области D' аналогично тому, как это было сделано в примере 7 (случай 2), и учитывая, что <р меняется от 0 до 2л,

получим:

2л R

при р = 0 t = R;

при р = R t — 0.

Подставив этот результат в формулу (1.56), получим:

2л

а = R2 ( dcp = 2лR2.

о

Вычисление моментов плоской фигуры. Статическим моментом 5; материальной точки относительно оси I называется произведение массы т материальной точки на расстояние ее до оси I, т. е.

S[ ~md[.

Моментом инерции Jt материальной точки относительно оси I называется произведение массы т этой точки на квадрат расстоя­ ния ее до оси,

Ji = md2i.

Статическим моментом системы материальных точек относи­ тельно оси / называется с у м м а статических моментов относи­ тельно этой оси всех материальных точек, входящих в систему..

Введем определение понятия статического момента плоской фи­ гуры относительно оси так, чтобы оно было естественным обобще­ нием соответствующих определений статических моментов мате­ риальной точки и системы материальных точек.

Пусть по области D равномерно распределена масса с плот­ ностью р = 1, т. е. масса любой части области D численно равна площади этой части. Разобьем область D на п частей; пусть площадь частичной области Dk (а следовательно, и масса) равна Asfe (k — 1, 2, . . . , п). Выберем в каждой из областей Dk по точке (xk, yk). Каждую из частичных областей будем рассматривать как матери­ альную точку с массой Ask, расположенную в выбранной точке, а всю область будем рассматривать как систему материальных то­ чек, расположенных в точках (xk, yk) (k = 1, 2, . . . , п). Статиче­ ские моменты этой системы материальных точек относительно ко­

ординатных осей х н у обозначим соответственно S(xn) и Syn) (верх­

34

ний индекс указывает, что эти величины относятся к выбранному разбиению области на п частей). Согласно данным выше определе­ ниям (рис. 21), имеем:

Статическими моментами области D относительно координатных осей х и у будем называть величины, определяемые равенствами

Аналогично вводятся моменты инерции для области D и выво­ дятся формулы

Пример 11. Вычислить статические моменты относительно координатных осей х н у фигуры, ограниченной осью х и аркой синусоиды, т. е. об­ ласти D, ограниченной линиями

=~ч (1 — cos 2х) dx — ■

^ <!

Лsin X

35

Итак,

Вычисление координат центра масс плоской фигуры. Рассмотрим область D с равномерно распределенной по ней массой (р = 1). Пусть S — площадь, а следовательно, и масса области. Центром масс области D будем называть точку, обладающую следующим свойством: если в эту точку поместить материальную точку с мас­ сой, равной массе всей области, то статические моменты этой мате­ риальной точки относительно координатных осей х и у равны со­ ответственно статическим моментам всей области относительно этих же осей. Пусть (хд, г/ц) — координаты центра масс. Тогда по оп­ ределению

Пример 12. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной

36

Г л а в а 2

ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Основные понятия и определения

Интегральная сумма. Пусть в пространстве в системе координат Oxyz задана замкнутая область V, в каждой точке которой опреде­ лена функция/ (х, у, z). Разобьем область V каким-либо способом на п частичных областей, не имеющих общих внутренних точек: Vlt V2 , ■■, Vn. Объемы этих областей обозначим соответственно Aolt Дц2, •• Avn. В каждой из элементарных областей Vk (k=\,2,. . ., п) выберем по произвольной точке Pk (xk, yk, zk) и во всех выбранных точках вычислим значение функции / (х, у, г). Составим сумму Qn произведений значений функции в выбранных точках на объемы соответствующих частичных областей:

fe=l

Выражение вида (2.1) называется интегральной суммой для функции / (х, у, z) в области V. Так же, как и построенная ранее (см. 1.1) интегральная сумма по плоской области, величина Qnмо­ жет зависеть как от способа разбиения области на части, так и от выбора точек в частичных областях.

Определение тройного интеграла. Каждому разбиению области V на п частей аналогично тому, как это было сделано в случае дроб­ ления плоской области (см. 1.1), поставим в соответствие числоХп— ранг дробления области:

^n = max{<4) (k=\, 2, . . . п),

где dk — диаметр частичной области Vk.

Определение. Если при стремлении к нулю ранга дробления об­ ласти V существует конечный предел интегральной суммы,

П

2 f(xk, yk, zk) Avk, k=\

не зависящий ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек Pk (xk, yk, zk), то этот предел называется тройным интегралом от функции f (xk, yk, zk) no области V и обозначается

Сопоставление определений тройного, двойного и определенного интегралов. При сопоставлении определений двойного и определен­

37

ного интегралов (см. §1.1) сформулировано обобщенное определе­ ние интеграла. Легко видеть, что сформулированное определение тройного интеграла является частным случаем обобщенного опреде­ ления. В качестве функции f следует взять функцию от трех пере­ менных f (х, у, z), в качестве области интегрирования — трехмер­ ную область V, а в качестве меры области — ее объем.

Теорема существования. Так же как и для двойного интеграла, сформулируем без доказательства теорему, указывающую на до­ вольно широкий класс функций, для которых тройной интеграл существует.

Теорема. Если функция f (х, у, z) непрерывна в замкнутой об­

ласти V, то существует тройной интеграл от функции f (х, у, z) по области V.

Заметим, что функция f (х, у, z), для которой существует трой­ ной интеграл по области V, называется интегрируемой в этой об­ ласти.

Физическая интерпретация тройного интеграла. Пусть некото­ рое вещество заполняет в пространстве область V. Будем считать, что плотность вещества не постоянна, а является непрерывнойфункцией координат f (х, у, z); (/ (х, у, г )> 0 в области V). Разобьем область V на п частей Vk (k = 1, 2, . . . , л). Плотность вещества в каждой частичной области Vk будем считать постоянной, равной плотности в произвольной точке Pk (xk, yk, zk) из области Vk. Обо­ значив массу вещества в области Vk через mk, получим:

т-k = f {%k> Pk> ^k) k•

Просуммируем массы вещества всех частичных областей:

П

Л4 = ^ / (-*-&> Ук> Zk) Д^/г- k=\

Для того, чтобы это равенство стало точным, надо перейти к пре­ делу при стремлении к нулю ранга дробления области:

п

м = lim V f(xk, yk, zk)Avk.

В правой части этого равенства стоит выражение, совпадающее по определению с тройным интегралом от функции f (х, у, z) по об­ ласти V. Таким образом, имеем:

и интегрируемы в области V и в любой ее части.

Линейность. Свойство 1. Постоянный множитель можно вы­

38

Свойство 2. Тройной интеграл по области V от суммы функций

равен сумме тройных интегралов по области V от каждого слагае­ мого. Для случая двух слагаемых это свойство может быть выра­ жено формулой

Доказательство свойств 1 и 2 вытекает непосредственно из опре­ делений тройного интеграла.

Свойство 3. (обобщающее свойства 1 и 2).

Аддитивность относительно области интегрирования. Свойство 4.

Если область V разбита на две области Р х и V2, не имеющих общих внутренних точек, то имеет место равенство:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Разобьем область V на части таким образом, чтобы каждая частичная область целиком принадлежала или области V-у или области V2 (для этого надо в число поверхно­ стей, дробящих область V на части, включить поверхность, отде­ ляющую область Pi от области Р 2). Тогда интегральную сумму по области V можно представить в виде

где нижние индексы под каждой суммой указывают, к какой области относятся слагаемые, входящие в сумму. Переходя в равенстве (2.8) к пределу при стремлении к нулю ранга дробления области V, получим равенство (2.7), что и требовалось доказать.

Оценки тройного интеграла. Свойство 5. Тройной интеграл от

неотрицательной функции неотрицателен, т. е. из неравенства f (х, у, г) >- 0 в области V следует неравенство

J j | / (х, у, z) dv > 0.

V

Доказательство свойства вытекает из формулы (2.2), в правой части которой оказывается предел от суммы неотрицательных ве­ личин, т. е. неотрицательное число.

39